Euclide

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

Pour la 4a, il faut bien k > 0. Je te rappelle que x = 2 + 5k et y = -1 - 3k. Donc pour k = 1, x = 7 et y = -4. On a bien x>0 et y<0.
Pour la 4b, il faut bien k<0.

SoSMath.

[Maxine]

Ah oui je comprends.
Quelles valeurs de x et y puis-je prendre pour l'exemple concret ? x=-1 et y=2 ? Du coup la solution suivante serait x=-4 et y=7 ?

[SoS-Math(9)]

Maxime,

pour k=-1, tu trouves x = 2 + 5*(-1) = -3 et y = -1 - 3*(-1) = 2.
Le suivant sera pour k = -2, soit x=-8 et y = 5.

SoSMath.

[Maxine]

D'accord merci beaucoup.
Pour la question 4)a. par exemple, c'est écrit x supérieur ou égal à 0, et y inférieur ou égal à 0, du coup k est quand même strictement supérieur à 0 ou supérieur ou égal à 0 ?

[SoS-Math(9)]

Maxime,

pour le 4a, k > ou égal à 0. (k=0, donne la solution de Samuel x=2 et y=-1.)

SoSMath.

[Maxine]

Pour la 4)b. :
On a $x\leq 0$ et $y\geq 0$ lorsque $k\leq 0$ (dois-je justifier encore ?)
On prend k=-1 pour l'exemple concret, ce qui donne:
$x= 2+5*(-1)= -3$ et $y= -1-3*(-1)=2$
Le suivant, pour k=-2:
$x= 2+5*(-2)= -8$ et $y= -1-3*(-2)= 5$
Dans les 2 exemples, on a toujours $x\leq 0$ et $y\geq 0$
Pour la manipulation je bloque un peu..

[SoS-Math(9)]

Maxime,

pour le 4b, k < 0 (et non égal à 0).
Pour la manipulation, -x correspond au nombre de fois où tu retournes le sablier de 9 minutes et y correspond au nombre de fois où tu retournes le sablier de 15 minutes. Et dans le cas où k<0, c'est dans le sablier de 15 minutes qu'il reste les 3 minutes (contrairement au cas k >= 0).

SoSMath.

[Maxine]

Bonjour,
D'accord merci !

Pour la 5)a., il y a 3 manipulations dans la méthode de Samuel, car c'est $3^n$. Mais je ne comprends pas comment est-il possible de trouver le nombre de manipulations dans $(E)$ ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maxime,

Le nombre de manipulation c'est le nombre de fois où tu as retourné le sablier 9 minutes et celui de 15 minutes.
Donc dans le cas où x>0 et y<0, ce nombre sera N = x - y. Dans la solution de Samuel, on a x=2 et y=-1, alors N = 2- (-1) = 3 manipulations.
Dans le cas où x<0 et y>0, ce nombre sera N = y - x.

SoSMath.

[Maxine]

Ah oui d'accord, du coup pour les deux cas de la question 4 ça donne:


On note N le nombre de manipulations.

- Pour $x\geq 0$ et $y\leq 0$, $N=x-y$.
Or $x= 2$ et $y=-1$
Donc $N= 2-(-1)= 3$
--> Il y a alors 3 manipulations dans la méthode proposée par Samuel. (1er cas de la question 4)

- Pour $x\leq 0$ et $y\geq 0$, $N= y-x$
Or $x= -3$ et $y= 2$
Donc $N= 2-(-3)= 5$
--> Il y a alors 5 manipulations possibles. (2ème cas de la question 4)

Quel est le nombre de manipulations pour une solution quelconque ? On peut faire 5+3= 8 manipulations ?

[SoS-Math(9)]

Maxime,

Dans le cas général, il faut utiliser les expressions de x et y en fonction de k.
On a x=2 + 5k et y =-1-3k. Donc pour pour k >=0, (x>0 et y<0), N = x-y = 3 + 8k.
Je te laisse faire le 2ème cas.

SoSMath.

[Maxine]

1er cas général:
On a $x= 2+5k$ et $y= -1-3k$
Donc $N= x-y= (2+5k)-(-1-3k)= 2+5k+1+3k= 3+8k$
--> On a donc $N= 3+8k$ de manipulations possibles.

2ème cas général:
On a $x= 2+5k$ et $y= -1-3k$
Donc $N= y-x= (-1-3k)-(2+5k)= -1-3k-2-5k= -3-8k$
--> On a donc $N= -3-8k$ de manipulations possibles.

[SoS-Math(9)]

C'est ça Maxime.

SoSMath.

[Maxine]

Merci beaucoup :) :)

Dans la 5)b, je dois résoudre des inéquations ? $x\leq 30$, $y\geq 30$ et inversement ?

[SoS-Math(9)]

Non Maxime,

il faut résoudre N <= 30 dans les deux cas, c'est-à-dire trouver k pour avoir N<=30.

SoSMath.