dérivabilité

[Invité]

SVP pourriez vous m'aider pour cet exercice
Soit la fonction f tel que : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ et $f(0)=0$
Et soit la fonction g définie comme suit : $g(x)=f(x)sin(\frac{1}{x}) ;x\neq 0$ et $g(0)=0$
Montrer que g est dérivable en 0 $\Leftrightarrow f'(0)=0$

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu es sûr de ton énoncé, c'est bien une équivalence qu'il faut démontrer ?
Pour commencer, tu peux considérer que $\left|\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant 1$
donc pour tout $x\neq 0$, on a $\left|\dfrac{g(x)}{x}\right|=\left|f(x)\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|$
donc on a $0\leqslant \left|\dfrac{g(x)}{x}\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|$.
Donc si $f'(0)=0$, cela signifie que la limite du taux d'accroissement est égale à 0. Or ce taux d'accroissement est égal à $\dfrac{f(x)}{x}$
donc on a $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=0$.
Donc en faisant tendre $x$ vers 0 dans l'inégalité précédente, et en utilisant le théorème des gendarmes, on a $\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{x}$ qui existe et qui vaut 0 ainsi $g$ est dérivable en 0 et $g'(0)=0$.
Pour faire la réciproque, il faut supposer $f'(0)\neq 0$ et la contradiction viendra du fait que l'on va trouver une limite en 0 à $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ alors que cette expression n'en a pas.
Je te laisse chercher la suite.

[Invité]

Merci
Oui pour l'énoncé c'est écrit une équivalence
D'accord j'ai compris votre démonstration de la 1ere implication à savoir : $f'(0)=0\Rightarrow g$ est dérivable en 0
Pour l'implication inverse a savoir $g$ est dérivable en 0 $\Rightarrow f'(0)=0$ vous voulez la démontrer par l'absurde c'est bien cela ? voila donc mon essai :
supposons donc que si g est dérivable en 0 alors $f'(0)\neq 0$
on a $g$ est dérivable en 0 $\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=l$ tel que $l\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow$ $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)sin(\frac{1}{x})}{x}=l$
$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l$
$\Rightarrow f'(0)\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l$
$\Rightarrow l'\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l$ (tel que $l'\in \mathbb{R}^{*}$
$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}$ !!!
c'est impossible puisque $sin(\frac{1}{x})$ n'admet pas de limite en 0
D'où $l'=f'(0)=0$ forcément

Voila est ce que c'est juste ? par ce que j'ai un peu de doute car si $l'=f'(0)=0$ forcément et si $l\in \mathbb{R}^{*}$ on aura donc $\lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}=$ ∞ or la limite de $sin(\frac{1}{x})$ en 0 n'existe pas et indéterminée et non pas égale à ∞

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est le principe de démonstration par l'absurde que je te proposais.
Il faut donc supposer $g$ dérivable en 0 et $f'(0)\neq 0$, ce qui permettra de diviser par $f'(0)$ et donc donnerait une limite réelle à $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ en 0, par passage à la limite dans l'égalité reliant $f$ et $g$.
Ta rédaction me semble correcte.
Bonne continuation

[Invité]

D'accord merci beaucoup

Voila est ce que c'est juste ? par ce que j'ai un peu de doute car si $l'=f'(0)=0$ forcément et si $l\in \mathbb{R}^{*}$ on aura donc $\lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}=$ ∞ or la limite de $sin(\frac{1}{x})$ en 0 n'existe pas et indéterminée et non pas égale à ∞

Que pensez vous de cette remarque SVP ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est justement le fait que $f'(0)=0$ qui annule en quelque sorte le problème de la limite de $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Comme ta fonction sinus est bornée, elle peut faire n'importe quoi en quelque sorte à partir du moment où elle est multipliée par quelque chose qui tend vers 0 et qui va neutraliser son comportement (sans que cela soit une forme indéterminée pour autant).
Donc ta remarque ne peut se produire puisqu'on ne peut pas aller jusqu'au quotient $\dfrac{\ell}{\ell'}$ car on ne fera pas le quotient, celui-ci n'étant pas défini partout : $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ s'annule sur les $\dfrac{1}{2n\pi}$ $n\neq 0$ qui sont "nombreux" au voisinage de 0 : en gros on n'a pas le droit de diviser par $\dfrac{f(x)}{x}$ car celui-ci peut être nul.
Je ne sais pas si j'ai été clair car c'est une situation un peu délicate à expliquer...
Bonne continuation

[Invité]

Oui c'est très clair je vous remercie infiniment

[sos-math(21)]

Bonjour,
nous espérons avoir répondu à ton attente.
Je verrouille le sujet.
À bientôt sur sos-math