dérivabilité
dérivabilité
SVP pourriez vous m'aider pour cet exercice
Soit la fonction f tel que : \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) et \(f(0)=0\)
Et soit la fonction g définie comme suit : \(g(x)=f(x)sin(\frac{1}{x}) ;x\neq 0\) et \(g(0)=0\)
Montrer que g est dérivable en 0 \(\Leftrightarrow f'(0)=0\)
Soit la fonction f tel que : \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) et \(f(0)=0\)
Et soit la fonction g définie comme suit : \(g(x)=f(x)sin(\frac{1}{x}) ;x\neq 0\) et \(g(0)=0\)
Montrer que g est dérivable en 0 \(\Leftrightarrow f'(0)=0\)
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Re: dérivabilité
Bonjour,
tu es sûr de ton énoncé, c'est bien une équivalence qu'il faut démontrer ?
Pour commencer, tu peux considérer que \(\left|\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant 1\)
donc pour tout \(x\neq 0\), on a \(\left|\dfrac{g(x)}{x}\right|=\left|f(x)\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\)
donc on a \(0\leqslant \left|\dfrac{g(x)}{x}\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\).
Donc si \(f'(0)=0\), cela signifie que la limite du taux d'accroissement est égale à 0. Or ce taux d'accroissement est égal à \(\dfrac{f(x)}{x}\)
donc on a \(\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=0\).
Donc en faisant tendre \(x\) vers 0 dans l'inégalité précédente, et en utilisant le théorème des gendarmes, on a \(\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{x}\) qui existe et qui vaut 0 ainsi \(g\) est dérivable en 0 et \(g'(0)=0\).
Pour faire la réciproque, il faut supposer \(f'(0)\neq 0\) et la contradiction viendra du fait que l'on va trouver une limite en 0 à \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) alors que cette expression n'en a pas.
Je te laisse chercher la suite.
tu es sûr de ton énoncé, c'est bien une équivalence qu'il faut démontrer ?
Pour commencer, tu peux considérer que \(\left|\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant 1\)
donc pour tout \(x\neq 0\), on a \(\left|\dfrac{g(x)}{x}\right|=\left|f(x)\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\)
donc on a \(0\leqslant \left|\dfrac{g(x)}{x}\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\).
Donc si \(f'(0)=0\), cela signifie que la limite du taux d'accroissement est égale à 0. Or ce taux d'accroissement est égal à \(\dfrac{f(x)}{x}\)
donc on a \(\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=0\).
Donc en faisant tendre \(x\) vers 0 dans l'inégalité précédente, et en utilisant le théorème des gendarmes, on a \(\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{x}\) qui existe et qui vaut 0 ainsi \(g\) est dérivable en 0 et \(g'(0)=0\).
Pour faire la réciproque, il faut supposer \(f'(0)\neq 0\) et la contradiction viendra du fait que l'on va trouver une limite en 0 à \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) alors que cette expression n'en a pas.
Je te laisse chercher la suite.
Re: dérivabilité
Merci
Oui pour l'énoncé c'est écrit une équivalence
D'accord j'ai compris votre démonstration de la 1ere implication à savoir : \(f'(0)=0\Rightarrow g\) est dérivable en 0
Pour l'implication inverse a savoir \(g\) est dérivable en 0 \(\Rightarrow f'(0)=0\) vous voulez la démontrer par l'absurde c'est bien cela ? voila donc mon essai :
supposons donc que si g est dérivable en 0 alors \(f'(0)\neq 0\)
on a \(g\) est dérivable en 0 \(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=l\) tel que \(l\in \mathbb{R}\)
\(\Rightarrow\) \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)sin(\frac{1}{x})}{x}=l\)
\(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\)
\(\Rightarrow f'(0)\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\)
\(\Rightarrow l'\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\) (tel que \(l'\in \mathbb{R}^{*}\)
\(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}\) !!!
c'est impossible puisque \(sin(\frac{1}{x})\) n'admet pas de limite en 0
D'où \(l'=f'(0)=0\) forcément
Voila est ce que c'est juste ? par ce que j'ai un peu de doute car si \(l'=f'(0)=0\) forcément et si \(l\in \mathbb{R}^{*}\) on aura donc \(\lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}=\) ∞ or la limite de \(sin(\frac{1}{x})\) en 0 n'existe pas et indéterminée et non pas égale à ∞
Oui pour l'énoncé c'est écrit une équivalence
D'accord j'ai compris votre démonstration de la 1ere implication à savoir : \(f'(0)=0\Rightarrow g\) est dérivable en 0
Pour l'implication inverse a savoir \(g\) est dérivable en 0 \(\Rightarrow f'(0)=0\) vous voulez la démontrer par l'absurde c'est bien cela ? voila donc mon essai :
supposons donc que si g est dérivable en 0 alors \(f'(0)\neq 0\)
on a \(g\) est dérivable en 0 \(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=l\) tel que \(l\in \mathbb{R}\)
\(\Rightarrow\) \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)sin(\frac{1}{x})}{x}=l\)
\(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\)
\(\Rightarrow f'(0)\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\)
\(\Rightarrow l'\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\) (tel que \(l'\in \mathbb{R}^{*}\)
\(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}\) !!!
c'est impossible puisque \(sin(\frac{1}{x})\) n'admet pas de limite en 0
D'où \(l'=f'(0)=0\) forcément
Voila est ce que c'est juste ? par ce que j'ai un peu de doute car si \(l'=f'(0)=0\) forcément et si \(l\in \mathbb{R}^{*}\) on aura donc \(\lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}=\) ∞ or la limite de \(sin(\frac{1}{x})\) en 0 n'existe pas et indéterminée et non pas égale à ∞
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Re: dérivabilité
Bonjour,
oui c'est le principe de démonstration par l'absurde que je te proposais.
Il faut donc supposer \(g\) dérivable en 0 et \(f'(0)\neq 0\), ce qui permettra de diviser par \(f'(0)\) et donc donnerait une limite réelle à \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) en 0, par passage à la limite dans l'égalité reliant \(f\) et \(g\).
Ta rédaction me semble correcte.
Bonne continuation
oui c'est le principe de démonstration par l'absurde que je te proposais.
Il faut donc supposer \(g\) dérivable en 0 et \(f'(0)\neq 0\), ce qui permettra de diviser par \(f'(0)\) et donc donnerait une limite réelle à \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) en 0, par passage à la limite dans l'égalité reliant \(f\) et \(g\).
Ta rédaction me semble correcte.
Bonne continuation
Re: dérivabilité
D'accord merci beaucoup
Que pensez vous de cette remarque SVP ?Invité a écrit : ↑dim. 28 févr. 2021 12:24
Voila est ce que c'est juste ? par ce que j'ai un peu de doute car si \(l'=f'(0)=0\) forcément et si \(l\in \mathbb{R}^{*}\) on aura donc \(\lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}=\) ∞ or la limite de \(sin(\frac{1}{x})\) en 0 n'existe pas et indéterminée et non pas égale à ∞
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Re: dérivabilité
Bonjour,
c'est justement le fait que \(f'(0)=0\) qui annule en quelque sorte le problème de la limite de \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\).
Comme ta fonction sinus est bornée, elle peut faire n'importe quoi en quelque sorte à partir du moment où elle est multipliée par quelque chose qui tend vers 0 et qui va neutraliser son comportement (sans que cela soit une forme indéterminée pour autant).
Donc ta remarque ne peut se produire puisqu'on ne peut pas aller jusqu'au quotient \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) car on ne fera pas le quotient, celui-ci n'étant pas défini partout : \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) s'annule sur les \(\dfrac{1}{2n\pi}\) \(n\neq 0\) qui sont "nombreux" au voisinage de 0 : en gros on n'a pas le droit de diviser par \(\dfrac{f(x)}{x}\) car celui-ci peut être nul.
Je ne sais pas si j'ai été clair car c'est une situation un peu délicate à expliquer...
Bonne continuation
c'est justement le fait que \(f'(0)=0\) qui annule en quelque sorte le problème de la limite de \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\).
Comme ta fonction sinus est bornée, elle peut faire n'importe quoi en quelque sorte à partir du moment où elle est multipliée par quelque chose qui tend vers 0 et qui va neutraliser son comportement (sans que cela soit une forme indéterminée pour autant).
Donc ta remarque ne peut se produire puisqu'on ne peut pas aller jusqu'au quotient \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) car on ne fera pas le quotient, celui-ci n'étant pas défini partout : \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) s'annule sur les \(\dfrac{1}{2n\pi}\) \(n\neq 0\) qui sont "nombreux" au voisinage de 0 : en gros on n'a pas le droit de diviser par \(\dfrac{f(x)}{x}\) car celui-ci peut être nul.
Je ne sais pas si j'ai été clair car c'est une situation un peu délicate à expliquer...
Bonne continuation
Re: dérivabilité
Oui c'est très clair je vous remercie infiniment
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Re: dérivabilité
Bonjour,
nous espérons avoir répondu à ton attente.
Je verrouille le sujet.
À bientôt sur sos-math
nous espérons avoir répondu à ton attente.
Je verrouille le sujet.
À bientôt sur sos-math