Suites et congruences
Suites et congruences
Bonjour à tous
Si certains peuvent m'aider à mon exercice de maths ce serait pas de refus je ne comprend pas grand chose au chapitre.
Pour tout entier naturel n, on définit les entiers
An=6×5^n -2 et Bn=3×5^n +1
1.a. Montrer que, pour tout entier naturel n, chacun des entiers An et Bn est congru à 0 modulo 4.
b. Pour tout entier naturel n, calculer 2Bn-An.
c. Déterminer le PGCD de An et Bn.
2.a. Montrer que B2020=(congru) 3×2^2020 +1 (7).
b. En remarquant que 2020=3×673+1, montrer que B2020 est divisible par 7.
c. L'entier A2020 est-il divisible par 7? Justifier la réponse.
Je pense avoir trouver qqch de correct pour la 1 mais rien de sûr.
Si certains peuvent m'aider à mon exercice de maths ce serait pas de refus je ne comprend pas grand chose au chapitre.
Pour tout entier naturel n, on définit les entiers
An=6×5^n -2 et Bn=3×5^n +1
1.a. Montrer que, pour tout entier naturel n, chacun des entiers An et Bn est congru à 0 modulo 4.
b. Pour tout entier naturel n, calculer 2Bn-An.
c. Déterminer le PGCD de An et Bn.
2.a. Montrer que B2020=(congru) 3×2^2020 +1 (7).
b. En remarquant que 2020=3×673+1, montrer que B2020 est divisible par 7.
c. L'entier A2020 est-il divisible par 7? Justifier la réponse.
Je pense avoir trouver qqch de correct pour la 1 mais rien de sûr.
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Re: Suites et congruences
Bonjour,
pour la première question, je te suggère de faire une récurrence "simultanée" en montrant la propriété \(\mathcal{P}_n\) :
\(A_n\) et \(B_n\) sont congrus à 0 modulo 4.
L'initialisation se fait bien
Pour l'hérédité, il faut chercher à faire apparaître \(A_n\) dans \(A_{n+1}\) :
on peut écrire \(A_{n+1}=6\times 5^{n+1}-2=6\times 5^n\times 5-2=(6\times 5^n-2+2)\times 5-2=(A_n+2)\times 5-2=5A_n+10-2=5A_n+8\)
Si \(A_n\) est divisible par 4, alors \(A_{n+1}=5A_n+8\) l'est aussi.
C'est le même type de démarche pour l'hérédité de \(B_n\).
Je te laisse rédiger proprement cette récurrence et on verra la suite dans un deuxième temps.
Bonne continuation
pour la première question, je te suggère de faire une récurrence "simultanée" en montrant la propriété \(\mathcal{P}_n\) :
\(A_n\) et \(B_n\) sont congrus à 0 modulo 4.
L'initialisation se fait bien
Pour l'hérédité, il faut chercher à faire apparaître \(A_n\) dans \(A_{n+1}\) :
on peut écrire \(A_{n+1}=6\times 5^{n+1}-2=6\times 5^n\times 5-2=(6\times 5^n-2+2)\times 5-2=(A_n+2)\times 5-2=5A_n+10-2=5A_n+8\)
Si \(A_n\) est divisible par 4, alors \(A_{n+1}=5A_n+8\) l'est aussi.
C'est le même type de démarche pour l'hérédité de \(B_n\).
Je te laisse rédiger proprement cette récurrence et on verra la suite dans un deuxième temps.
Bonne continuation
Re: Suites et congruences
D'accord, merci
J'ai bien trouvé la bonne réponse.
Est-ce que je dois m'aider de la question a pour répondre à la b ?
J'ai bien trouvé la bonne réponse.
Est-ce que je dois m'aider de la question a pour répondre à la b ?
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Re: Suites et congruences
Bonjour,
pour la question b) c'est un calcul direct indépendant du a) qu'il faut faire.
Calcul pour tout entier naturel \(n\), \(2B_n-A_n=2\times (3×5^n +1)-(6×5^n -2)=\ldots\).
Les questions a et b devraient ensuite te permettre de trouver le pgcd de \(A_n\) et \(B_n\), question c.
Bonne continuation
pour la question b) c'est un calcul direct indépendant du a) qu'il faut faire.
Calcul pour tout entier naturel \(n\), \(2B_n-A_n=2\times (3×5^n +1)-(6×5^n -2)=\ldots\).
Les questions a et b devraient ensuite te permettre de trouver le pgcd de \(A_n\) et \(B_n\), question c.
Bonne continuation
Re: Suites et congruences
Je ne comprend pas en quoi les questions a et b m'aideront pour la c ?
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Re: Suites et congruences
Bonjour,
la question a te permet de dire que 4 est un diviseur commun à \(A_n\) et \(B_n\) car ces deux nombres sont tous les deux divisibles par 4 le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est divisible par 4, car tout diviseur commun à deux entiers est un diviseur de leur PGCD.
Si tu notes \(d\) le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) alors \(d\) divise \(2B_n-A_n\). Or ce nombre a été calculé dans la b) (tu as dû trouver 4) donc \(d\) divise 4. Finalement on a \(4\mid d\) et \(d\mid 4\) donc \(d=4\).
Les deux questions ont bien servi à montrer que le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est 4.
Bonne continuation
la question a te permet de dire que 4 est un diviseur commun à \(A_n\) et \(B_n\) car ces deux nombres sont tous les deux divisibles par 4 le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est divisible par 4, car tout diviseur commun à deux entiers est un diviseur de leur PGCD.
Si tu notes \(d\) le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) alors \(d\) divise \(2B_n-A_n\). Or ce nombre a été calculé dans la b) (tu as dû trouver 4) donc \(d\) divise 4. Finalement on a \(4\mid d\) et \(d\mid 4\) donc \(d=4\).
Les deux questions ont bien servi à montrer que le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est 4.
Bonne continuation
Re: Suites et congruences
Merci beaucoup
J'ai réussi jusque là et même la question 2a.
Je suis cependant bloqué à la 2b, pouvez-vous m'aider ?
J'ai réussi jusque là et même la question 2a.
Je suis cependant bloqué à la 2b, pouvez-vous m'aider ?
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Re: Suites et congruences
Bonjour,
tu viens de montrer que : \(B_{2020}\equiv 3×2^{2020} +1\,[7]\)
En remarquant que \(2020=3\times 673+1\), tu as \(2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2\), montrer que B2020 est divisible par 7.
Or \(2^3\equiv 1\,[7]\) donc \(\left(2^3\right)^{673}\equiv 1\,[7]\) et on a finalement \(2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2\equiv 2\,[7]\).
Donc tu peux conclure quant à la divisibilité de \(B_{2020}\) par 7.
Bonne continuation
tu viens de montrer que : \(B_{2020}\equiv 3×2^{2020} +1\,[7]\)
En remarquant que \(2020=3\times 673+1\), tu as \(2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2\), montrer que B2020 est divisible par 7.
Or \(2^3\equiv 1\,[7]\) donc \(\left(2^3\right)^{673}\equiv 1\,[7]\) et on a finalement \(2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2\equiv 2\,[7]\).
Donc tu peux conclure quant à la divisibilité de \(B_{2020}\) par 7.
Bonne continuation
Re: Suites et congruences
Merci, j'ai tout compris.
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Re: Suites et congruences
Tant mieux,
Pour la dernière question, pour montrer savoir si \(A_n\) est divisible par 7, il faut utiliser le fait que le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est égal à 4.
Je verrouille donc le sujet.
À bientôt sur sos-math
Pour la dernière question, pour montrer savoir si \(A_n\) est divisible par 7, il faut utiliser le fait que le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est égal à 4.
Je verrouille donc le sujet.
À bientôt sur sos-math