Matrices

[Aliyah]

Bonjour , j’ai besoin d’aide pour cette question :
Montrer qu’une matrice carrée M d’ordre 3 à termes positifs est stochastique (somme des termes de chaque ligne vaut 1) si est seulement si MX=X

Pour M je sais qu’on a une matrice : ( a b c )
( d e f )
( g h i )
Mais je n’arrive pas a trouver X

[sos-math(21)]

Bonjour,
si on considère une matrice carrée d'ordre 3 : $M=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$.
alors pour tout vecteur $X$ de la forme, $X=\begin{pmatrix}x\\x\\x\end{pmatrix}$,
on a $MX=\begin{pmatrix}ax+bx+cx\\dx+ex+fx\\gx+hx+ix\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a+b+c)x\\(d+e+f)x\\(g+h+i)x\end{pmatrix}$
donc je dirai qu'il y a équivalence entre :
$M$ est stochastique $\Longleftrightarrow$ pour tout vecteur $X=\begin{pmatrix}x\\x\\x\end{pmatrix}$, $MX=X$.
Qu'en penses-tu ?

[Invité]

Je pense que c’est correct mais j’ai une question , à la fin on ne retombe pas sur X donc MX est différent de X non ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
dans le cas général on a effectivement $MX\neq X$ mais dans l'hypothèse où on a une matrice $M$ stochastique, la somme des coefficients de chaque ligne est égale à 1 donc $a+b+c=d+e+f=g+h+i=1$ ce qui donne bien $MX=X$.
On a donc $MX=X$ si et seulement si $M$ est stochastique : c'est ce qu'on appelle une condition nécessaire et suffisante.
Est-ce plus clair ?

[Aliyah]

Oui c’est plus clair merci

[sos-math(21)]

Bonne continuation et à bientôt sur sos-math