Base 10 maths expertes

[Aliyah]

Bonsoir , je ne sais pas comment procéder pour répondre à ces deux questions :

Quels sont les deux derniers chiffres de l’écriture en base 10 du nombre 2020**2021**2022 ?

Quels sont les deux derniers chiffres de l’écriture en base 10 du nombre 2018**2019**2020 ?

Je suppose qu’il faut utiliser les congruences ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
les ** représentent des multiplications ou la mise en puissance :
$2020\times 2021\times 2022$ ou bien $2020^{{2021}^{2022}}$ ?
Pour obtenir les deux derniers chiffres d'un nombre, il faut regarder les congruences modulo 100.
Bonne continuation

[Aliyah]

Oui cela correspond aux puissances.
D’accord et comment procéder ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux commencer par regarder la congruence de $2020$ modulo 100.
et élever ensuite à la puissance $2021^{2022}$, tu verras assez vite une congruence simple.
Pour le deuxième, c'est la même démarche mais c'est un peu plus délicat. Il s'agit de regarder la congruence modulo 100 de 2018 :
$2018\equiv 18 \mod{100}$
Ensuite tu regardes les puissances successives de 18 : tu verras qu'elles se terminent de manière cyclique, selon l'exposant, par :

• si l'exposant est congru à 0 modulo 4, elle se termine par 76
• si l'exposant est congru à 1 modulo 4, elle se termine par 68
• si l'exposant est congru à 2 modulo 4, elle se termine par 24
• si l'exposant est congru à 3 modulo 4, elle se termine par 32

Maintenant, il faut que tu regardes la congruence de l'exposant $2019^{2020}$ modulo 4.
Tu dois trouver que les deux derniers chiffres sont 68.
Bonne continuation

[Aliyah]

Pour 2020**2021**2022 j’ai procédé de cette manière:

On sait que 2020 est congru à 10 mod[100]

Donc 2020**2 est congru à 100 mod[100]

Et (2020**2)**1010,5 est congru à 1**1010,5 mod[100]

Donc 2020**2021 est congru à 1 mod[100]

Donc (2020**2021)**2 est congru à 1**2 mod[100]

Et ((2020**2021)**2)**1011 est congru à 1**1011 mod[100]

Donc 2020**2021**2022 est congru à 1mod[100] qui est congru à 0mod[100]. Donc les deux dernier chiffres de l’écriture en base 10 du nombre 2020**2021**2022 sont 22. Cela est-il correct ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
il y a une erreur : $2020$ est congru à 20 modulo 100.
ensuite, si tu élèves à la puissance 2021, $2020^{2021}$ sera congru à 0 modulo 100 car tu auras dans cette puissance le facteur
$2020^{2021}=2020^{2}\times 2020^{2019}$ et $2020^{2}=4080400$ est congru à 0 modulo 100 donc le produit aussi.
Ensuite en élevant à la puissance $2021^{2021}$, tu auras encore une congruence 0 modulo 100 :
$2020^{2021^{2022}}=\left(2020^{2021}\right)^{2021^{2021}}\equiv (0)^{2021^{2021}}\equiv 0$ donc que les deux derniers chiffres du nombre sont 0 et 0.
Est-ce plus clair ? Il est vrai que la manipulation d'exposant n'est pas simple ici...
Bonne continuation

[Aliyah]

Oui c’est beaucoup plus clair merci , pour 2018**2019**2020 j’ai procédé de cette manière :

2018 est congru à 18 mod [100]
Et 2018**5 est congru à 1889568 mod [100]
Et que l’exposant 5 est congru à 1 mod [4]

De plus , 2019 est comgru à 3 mod [4]
2019**2 est congru à 9 mod [4]
Et (2019**2)**1010 est congru à 1**1010 mod [4]
Donc 2019**2020 est congru à 1 mod 4
Et j’ai trouvé que les deux derniers chiffres sont 68 , c’est correct ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
C’est ce qu’on avait évoqué comme démarche et je t’avais indiqué 68 comme réponse.
Je pense que tout est correct.
Bonne continuation

[Aliyah]

D’accord merci beaucoup

[sos-math(21)]

Bonne suite de travail et soigne bien la rédaction de tes réponses : c'est très important en arithmétique car il y a souvent beaucoup d'explications à fournir avec les calculs.