Aire d’un trapèze isocèle

[Bastoune66]

Bonjour,
Voilà mon énoncé.
Soit ABCD un trapèze isocèle de grande base [AB] tel que AD = DC = CB = 1m
Soit H le projeté orthogonal de D sur [AB].
En posant AH = x, déterminer l'aire maximale d'un tel trapèze.
NB : il n'est pas nécessaire de connaître (ou d'aller chercher sur internet) la formule de l'aire d'un trapèze pour traiter cet exercice.

[sos-math(21)]

Bonjour,
avec Pythagore dans le triangle $ADH$ rectangle en $H$, tu peux obtenir hauteur $DH$ en fonction de $x$.
Par symétrie, en notant $H'$ le projeté de $C$ sur $(AB)$, tu as
$\mathcal{A}=\mathcal{A}_{ADH}+\mathcal{A}_{DCH'H}+\mathcal{A}_{BCH'}=2\times \mathcal{A}_{ADH}+x= AH\times DH+x$.
Je te laisse terminer.
Bonne continuation

[Invité]

J'ai fais pythagore pour HD = √(1-x$^{2}$
)
Puis comme AH = x ; AB = 2x+1
Je fais donc l'aire = ((grande base +petite base) *hauteur)/2 donc c'est ((AB+DC)*DH)/2 = ((2x+2)* √(1-x$^{2}$
))/2 = (1+x)* √(1-x$^{2}$
).
Après je ne sais plus quoi faire.

[sos-math(21)]

C'est bon pour l'aire du trapèze.
Ensuite tu étudies la fonction en calculant sa dérivée et en étudiant son signe sur $[0\,;\,1]$.
Puis tu en déduis le sens de variation, le tableau de variation et le maximum qui doit être atteint en $x=0,5$.
Bon calcul

[Bastien]

C’est bon j’ai trouvé (1+x)*racine carrée de 1-x^2
J’arrive pas à dériver mais je sais qu’il faut arriver à -2x^2-x+1

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as affaire à la dérivée d'un produit $u\times v$, avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=\sqrt{1-x^2}$.
Tu as facilement $u'(x)=1$ et le calcul de $v'(x)$ est plus compliqué $v$ est de la forme $\sqrt{f}$ qui se dérive en $\dfrac{f'}{2\sqrt{f}}$.
Il te restera ensuite à calculer $(uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$. Tu dois obtenir à la fin (factorisation optimale) : $f'(x)=(2x - 1) \dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{x - 1}$ mais tu peux travailler avec $\dfrac{(-2x^2-x+1)\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}$
Bonne continuation

[Bastien]

Nickel c’est bon j’ai tout fais et je trouve 0,5 pour 1,299 m2. Merci beaucoup pour votre aide et bonne soirée

[sos-math(21)]

Bonjour,
cela me semble correct.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math.