problème d'arithmétique

[Cédric]

Bonsoir,
le problème est le suivant :
trouver tous les entiers naturels a et b ayant 6 diviseurs communs et tels que a+b = 162.

Réponse : je me suis dit que si c divise a et b alors c divise a+b donc j'ai décomposé 162 en produit de nombres premiers : 162 = 3^4 * 2 en en déduisant que 162 a 10 diviseurs. Les diviseurs communs à a et b sont aussi les diviseurs de 162 et là je bloque .
Merci pour votre aide !
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Cédric,

ton raisonnement est juste ... tu as bien a =c*a' et b = c*b' tels que c divise 162.
Donc il faut que tu trouves parmi les diviseurs de 162 ceux qui ont au moins 6 diviseurs ...
Un exemple : 18 est un diviseur de 162 et 18 à six diviseurs (1, 2, 3, 6, 9, 18) ...reste à trouver tous les entiers a' et b'....

Bon courage,
SoSMath.

[cédric]

Bonsoir,
18 est le seul diviseur de 162 qui admet 6 diviseurs.
J'en déduis 3 couples de solutions pour a' et b' et donc trois couples solutions pur (a,b)
(18,144), (36,126) et (72,90).
Merci de me dire si c'est juste.
Cédric

[cédric]

Réponse : je me dis que si c est un diviseur commun de a et b alors c divise a+b et donc 162.
En décomposant 162= 3^4 * 2, je trouve que 3^2 * 2 est le seul diviseur de 162 qui ait 6 diviseurs.
Ensuite a = 18*a' et b=18*b' donc je cherche a' et b' tels que a'+b' = 9 et tels que a ' et b' soient premiers entre eux d'où trois possibilités de couples pour (a',b' ) et trois possibilités de couples pour (a,b) à savoir :
(18,144) (36,126) et (72,90).
Merci de me confirmer la réponse et encore merci pour tout.
Cédric

[sos-math(13)]

Bonjour,

à l'avant dernier message, tu affirmes que 18 est le seul diviseur de 162 qui admet 6 diviseurs. Certes, mais il faut chercher parmi tous ceux qui admettent "au moins" 6 diviseurs. Il y en a donc d'autres (à commencer par 162).

Cela peut ouvrir la voie à d'autres solutions.

Bon courage.