Devoir Maison sur les limites

[Coralie]

Bonjours
J'ai un devoir maison dur les limites dont un des exercices est le n°77p74 de l'édition Didier (Math'x)
Je ne vois pas du tout comment je peux démontrer cela
Si vous pouriez me mettre sur la piste, je vous en serais reconnaisante
Merci d'avance
Coralie

[SoS-Math(2)]

Bonjour Coralie,
n'ayant pas le livre que vous évoquez, il m'est impossible de répondre à votre demande.
Sur ce forum, les demandes doivent être compréhensibles par tous.
A bientôt peut-être.

[Coralie]

Ha d'accord
(notre professeur de chimie, qui nous a donné le site du forum, nous a dit que vous disposiez des manuels)
Je peux vous écrire l'énoncé alors?
On considère une fonction définit sur [0 ; + \(\infty\)[ tel que \(\lim_{x \to + \infty}f(x)\) = + \(\infty\)

1) Supposons que la droite D d'équation cartésienne y=ax+b (a différent de 0) soit asymptote à la courbe d'équation y=f(x)
Posons alors g(x)=f(x) - (ax+b).
On sait que \(\lim_{x \to + \infty}g(x)\) = 0

a) Montrer que a= \(\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{x}\)
b) Montrer que b= \(\lim_{x \to + \infty}(f(x)-ax)\)

2) On suppose qu'il existe deux réels a et b (a différent de 0) tels que a= \(\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{x}\) et b= \(\lim_{x \to + \infty}(f(x)-ax)\).
En déduire que la droite D d'équation cartésienne y=ax+b est asymptote à la courbe d'équation y=f(x)

3) Application Montrer que la courbe d'équation y=\(\frac{x^2+5}{2x+1}\) admet une asymptote oblique, dont on déterminera une équation cartésienne.

Voila je n'arrive pas à démarrer, si vous pourriez m'aider je vous en remercie encore
Bonne soirée

[sos-math(13)]

Bonjour Coralie,

A partir de la relation entre f et g donnée en 1, exprime f en fonction de g, puis f(x)/x en fonction de g(x)/x puis passe à la limite à l'infini. Conclure devient plus simple.

Bon courage.

[Coralie]

oui je vous remercie, en fait en attendant votre réponse j'avais trouvé toute seule
par contre pour les questions 2 et 3, j'ai beau passé du temps dessus, je n'arrive pas à trouver
est ce que un des professeur aurait la gentillesse de m'aider???
je vous remercie d'avance
Coralie

[sos-math(13)]

Bonjour Coralie,

Pour la question 2, il s'agit de montrer que, sous ces hypothèses, la quantité g(x)=f(x)-(ax+b) a pour limite 0 en l'infini.

Bonne suite.

[Coralie]

Bonsoirs
oui il faut démontrer cela mais le problème c'est que je trouve que g(x)=f(x)-(ax+b)= f(x) - \(\lim_{x \to +\infty}f(x)\)
(car j'a remplacer le a et le b par les limites donné
est ce que vous pourriez me dire l'endroit où j'aurais pu faire une erreur svp?
je vous en remercie d'avance
Coralie

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

il me semble que la réponse est dans ta question ...

ton hypothèse est \(\lim_{x \to +\infty}(f(x)-ax) = b\),
donc \(\lim_{x \to +\infty}((f(x)-ax)-b)=0\),
soit \(\lim_{x \to +\infty}(f(x)-ax-b)=0\),
soit \(\lim_{x \to +\infty}(f(x)-(ax+b))=0\).
donc tu as une asymptote d'équation y=ax+b .... ?

SoSMath.

[Coralie]

D'accord, je ne pensais pas qu'on pouvais faire entrer les réels comme ça dans une limite
Une dernière petite question: Est ce que dans le 3e question on peux utiliser les données des questions précédentes?
je vous remercie beaucoup de m'avoir éclairé sur le sujet
Coralie

[SoS-Math(9)]

Un petit rappel ... en 1ère tu as vu que
\(\lim_{x \to +\infty}f(x) = L\) équivaut à \(\lim_{x \to +\infty}(f(x)-L)=0\) ...

Ensuite il est évident qu'il faut utiliser les résultats des question 1 et 2 pour faire la question 3 !

Bon courage,
SoSMath.

[Coralie]

Je viens de re-regarder mes cours de 1ere et je n'est pas vu cette équivalence.
Je vous remercie beaucoup pour votre aide
Bonne soirée
Coralie