Matrices

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne comprends pas le début de ta réponse pour la 7 :

Pour la 7):

Comme on l'a démontré à la question 3), M est une matrice de ξ. Puisque φ(a;b) = φ(a';b'), alors M=M' et donc M' appartient également à ξ.

Il suffit de prendre deux matrices $M=\varphi(a,b)$ et $M'=\varphi(a',b')'$ et de montrer que la somme $M+M'$ est aussi une image par $\varphi$, c'est à dire qu'il existe $(c,d)$, tels que $M+M'=\varphi(c,d)$, ces nombres vont être très simples à déterminer, par lecture des coefficients de la somme $M+M'$.
Pour le produit, c'est la même chose : il suffit de prendre deux matrices $M=\varphi(a,b)$ et $M'=\varphi(a',b')'$ et de montrer que le produit $M\times M'$ est aussi une image par $\varphi$, c'est à dire qu'il existe $(e,f)$, tels que $M\times M'=\varphi(c,d)$, ces nombres devraient être faciles à trouver, par lecture des coefficients du produit $M\times M'$.
Bonne rédaction

[Lisa]

En fait je voulais démontrer que puisque M est une matrice de ξ, alors M' appartient aussi à cet ensemble vu que φ(a;b) = φ(a';b'), ce qui revient à dire que M=M'. C'est faux si je dis ça ?

M+M'= $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}$
= $\begin{pmatrix} 2a & 2b\\ -2b & 2a \end{pmatrix}$
= 2 $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$

Le coefficient est 2 ? a=2 et b=2 ?

MM'= $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}$
= $\begin{pmatrix} a^2-b^2 & 2ab\\ -2ab & a^2-b^2 \end{pmatrix}$

Là je pense que b=2a mais a je ne vois pas trop..

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lisa,

Pourquoi changes-tu a' en a et b' en b ?

Tu as M+M' = $\begin{pmatrix} a+a' & b+b'\\ -b + (-b') & a+a' \end{pmatrix}$=φ(a+a';b+b') où a+a' $\in$ IR et a+a' $\in$ IR.
Donc M+M' $\in$ ξ.

Pour le produit, montre que MM' = φ(c;d) où il faudra que tu détermines c et d en fonction de a, a',b et b'.

SoSMath.

[Lisa]

J'ai compris pour M+M'.

Pour MM':

MM'= $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}$
= $\begin{pmatrix} aa'-bb' & ab'+ba'\\ ab'+ba' & aa'-bb' \end{pmatrix}$
= φ(aa' - bb' ; ab' + ba')

Donc MM'∈ ξ.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Lisa,
Il y a une petite erreur dans ton calcul

MM'= $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}$
= $\begin{pmatrix} aa'-bb' & ab'+ba'\\ {\bf \color{#FF0000}-} ab'{\bf \color{#FF0000}-}ba' & aa'-bb' \end{pmatrix}$
= φ(aa' - bb' ; ab' + ba')
SoS-math

[Lisa]

Merci beaucoup pour votre aide :D

Bon week-end.

[SoS-Math(33)]

Merci
Bon weekend et bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math