Coefficient / Intégrale

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question : peux-être veut-il parler de la décomposition $a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)$, avec séparation.
Quoiqu'il en soit, je pense qu'il faut que tu calcules tes coefficients de Fourier et tu auras alors $a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)$ qui doit pouvoir s'écrire sous la forme $c_n=cos(n\omega t+\Phi)$, ce qui te donnera (peut-être) ce qui est demandé.
Je te laisse essayer.

[Invité]

Merci de votre réponse.

J'ai trouvé une correction partielle sur Internet : https://www.cjoint.com/data/JLdi3NjLX34 ... tielle.png
Donc ce qu'il y a écrit pour a et b, c'est bien ce qu'il faut écrire pour la question 3 de mon énoncé ?

Maintenant, comment répondre à la question 4 avec les infos des corrigés de a et b ?

Merci énormément ! :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
je viens de comprendre ce qu'ils désignent par série de sinus et série de cosinus : il s'agit de prolonger la fonction de manière paire pour avoir uniquement des cosinus donc $b_n=0$ ou de prolonger de manière impaire pour avoir uniquement des sinus (donc $b_n=0$.
Donc dans ton cas, sachant la valeur de tes coefficients, il faut appliquer la formule de Parseval à la fonction paire que tu as obtenue au a).
Je te laisse faire cette application directe, cela correspond au corrigé et tu obtiens $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^4}=\dfrac{\pi^4}{96}$ : cela correspond à la somme des inverses des impairs à la puissance 4.
Pour avoir la somme complète, il suffit de considérer que $S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n^4}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2p+1)^4}+ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(2p)^4}=\dfrac{\pi^4}{96}+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{16}\times\dfrac{1}{p^4}=\dfrac{\pi^4}{96}+\dfrac{1}{16}S$
Donc on a $S=\dfrac{\pi^4}{96}+\dfrac{1}{16}S$ et tu devrais trouver $S$.
Bonne conclusion

[Invité]

Ah oui merci c'est super bien expliqué, maintenant j'ai compris !

J'ai un dernier exercice :

https://www.cjoint.com/data/JLdx5F1XUMZ_exo9.png

Je ne comprends pas la première question : pourquoi devrait-on faire intervenir la dérivée ? Avez-vous une idée ?

merci de laide

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne suis pas spécialiste mais la transformée de Fourier de cette fonction est plus simple à calculer que celle de la fonction, puisqu'on on aura seulement des constantes à intégrer dans la transformation de Fourier. Et comme $\mathcal{F}(f')(\omega)=i\omega \mathcal{F}(f)(\omega)$, on retrouvera facilement la transformée de Fourier de $f$ en divisant par $i\omega$.
Bonne continuation

[Invité]

Merci d'avoir répondu !

Mais là, je comprends plus. J'ai pourtant consulté ce rappel de cours : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... ransf.html

Comment on fait dans notre cas comme on a une fonction définie différemment selon les intervalles ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu n'as pas d'autre choix que de travailler sur chaque intervalle définissant ta fonction par morceaux.
Essaie cela.

[Invité]

Mais le problème c'est que pour -a < t < a et pour "sinon", on aura des dérivées nulles puisque la fonction est constante sur ces intervalles ?

[sos-math(21)]

En quoi est-ce un problème ?
Tu peux tout de même calculer des intégrales avec la fonction nulle, non ?

[Invité]

pourriez-vous me montrer les calculs à effectuer, au moins le début ?

(ne me donnez pas tout svp)

car là je comprends vraiment pas ce que je dois faire.

Déjà je comprends pas la différence entre série de FOurier et tran,sfomrée de fourier

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te donne le lien vers un cours où on traite quelques exemples de calcul de transformée de Fourier : http://www.est-usmba.ac.ma/coursenligne/ID-S2-M6.2-fourier-CRS-EL%20OMARI.pdf et http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/transformees/fourier&type=fexo exercice 1
Cela marche un peu comme les transformées de Laplace : il s'agit de calculer des intégrales sur chaque intervalle définissant la fonction.
Il faut que tu essaies seul.

[Martin]

Bonjour,
je viens de comprendre ce qu'ils désignent par série de sinus et série de cosinus : il s'agit de prolonger la fonction de manière paire pour avoir uniquement des cosinus donc $b_n=0$ ou de prolonger de manière impaire pour avoir uniquement des sinus (donc $b_n=0$.
Donc dans ton cas, sachant la valeur de tes coefficients, il faut appliquer la formule de Parseval à la fonction paire que tu as obtenue au a).
Je te laisse faire cette application directe, cela correspond au corrigé et tu obtiens $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^4}=\dfrac{\pi^4}{96}$ : cela correspond à la somme des inverses des impairs à la puissance 4.
Pour avoir la somme complète, il suffit de considérer que $S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n^4}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2p+1)^4}+ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(2p)^4}=\dfrac{\pi^4}{96}+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{16}\times\dfrac{1}{p^4}=\dfrac{\pi^4}{96}+\dfrac{1}{16}S$
Donc on a $S=\dfrac{\pi^4}{96}+\dfrac{1}{16}S$ et tu devrais trouver $S$.
Bonne conclusion

Bonjour je suis en pleines révisions pour un DS à la rentrée et à propos de ce message, je n'obtiens pas pi^4/94, mais plutôt pi^4/24 : y a-t-il une erreur dans le corrigé ?
Je ne vois vraiment pas où j'aurais pu avoir fait une erreur dans l'application du théorème de Parseval...

Merci de l'aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu obtiens l'équation $S=\dfrac{\pi^4}{96}+\dfrac{1}{16}S$
alors tu as $\dfrac{15}{16}S=\dfrac{\pi^4}{96}$ soit $S=\dfrac{16\pi^4}{15\times 96}=\dfrac{\pi^4}{90}$, ce qui est la valeur habituelle de la somme de la série $\displaystyle \sum_{}^{} \dfrac{1}{n^4}$.
Bonne continuation

[Invité]

Merci de votre réponse.

Si tu obtiens l'équation .......

Le problème est que je n'obtiens pas cette équation !
Au lieu d'obtenir $\sum_{n=0}^{+\infty} = \frac{1}{(2n+1)^4}=\frac{\pi^4}{96}$ (comme le dit le corrigé), j'obtiens :
$\sum_{n=0}^{+\infty} = \frac{1}{(2n+1)^4}=\frac{\pi^4}{24}$.

Y a-t-il une erreur dans le corrigé ? Je le remets ici car le lien a expiré : https://www.cjoint.com/data/JLEwTiBsg2O ... lle-1-.png

Pourtant, il me semble avoir utilisé la formule de Parseval correctement, mais eux je trouve qu'ils l'utilisent bizarrement, par exemple dans leur correction d'où vient le 1 + ... après le signe égal, alors qu'on a a0=0 ?

Merci !

[sos-math(21)]

Bonjour,
il n'y a pas d'erreur dans le corrigé : le calcul de $a_0$ vaut bien 1. Le calcul de l'intégrale du module de $f$ vaut $\dfrac{4}{3}$ donc en passant le 1 de l'autre côté, il reste $\dfrac{1}{3}$ soit en divisant par $\dfrac{64}{\pi^4}$ et en multipliant par 2, on a $S'=2\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{\pi^4}{64}=\dfrac{\pi^4}{96}$.
Bonne continuation