Coefficient / Intégrale

[Martin]

Bonjour,

Je suis Martin, en prépa TSI, je vous avais déjà envoyé un message avec une question il y a quelques jours.

Maintenant j'ai encore une question de maths, sur les coefficients de Fourier, mais la question est de niveau terminale, c'est un calcul d'intégrale...

Ici, dans mon cours, page 3 : http://vonbuhren.free.fr/Prepa/TSI/seri ... _cours.pdf, j'ai à droite la définition des coefficients de Fourier.

J'ai un exercice corrigé qui me pose problème, c'est l'exercice 1 qui est ici : http://vonbuhren.free.fr/Prepa/TSI/seri ... rcices.pdf
Et voici le corrigé : http://vonbuhren.free.fr/Prepa/TSI/seri ... es_cor.pdf

J'arrive pas à obtenir ce qu'ils ont dans la correction de l'exo 1.

Je suis d'accord avec le fait que comme f est impaire, on a an = 0 pour tout n ∈ N.
Mais j'arrive pas à trouver ce qu'ils obtiennent pour bn.

Voici ce que je fais :

D'après le cours (que je vous ai donné au dessus), on a :

$b_n(f)=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\omega t)dt = \frac{2}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}f(t)sin(n\omega t)dt$

Et là je suis bloqué : on a une intégrale entre 0 et 2pi alors que la fonction est définie uniquement sur ]0;pi[ !

Alors que faire ?

Voilà comment je continue :

$b_n(f)= \frac{1}{\pi }\int_{0}^{\pi}sin(n\omega t)dt = \frac{1}{\pi }[\frac{-1}{n\omega}cos(n\omega t)+ \frac{1}{n\omega}] = \frac{1}{n\omega \pi}(-cos(n\omega \pi)+1)$

J'imagine que c'est faux puisqu'on n'obtient pas le même résultat que dans le corrigé, mais pourquoi c'est faux ? Comment obtenir ce qui est obtenu dans le corrigé ?

Merci de l'explication, bonne journée.

Martin

[sos-math(21)]

Bonjour,
on te dit que ta fonction est $2\pi$ périodique et impaire donc si elle vaut $1$ sur $[0\,;\,\pi]$, elle vaut $-1$ sur $[-\pi\,;\,0]$ donc par périodicité, en se décalant de $2\pi$, elle vaut aussi $-1$ sur $[\pi\,;\,2\pi]$.
Donc ton calcul d'intégrale revient à calculer $\displaystyle b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)dt-\dfrac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}\sin(nt)dt$ car $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$.
la fonction $t\mapsto sin(nt)$ a pour primitive $-\dfrac{1}{n}cos(nt)$. Donc en calculant les images des bornes des intégrales on a :
$b_n=\dfrac{1}{\pi}\left(-\dfrac{cos(n\pi)}{n}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{cos(n\pi)}{n}\right)=\dfrac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}$, car $cos(n\pi)=(-1)^n$.
Je te laisse le soin de refaire les calculs pour t'en convaincre.

[Invité]

Merci beaucoup de votre réponse.

En fait, c'est OK pour les calculs d'intégrales.

Tout ce que je comprends pas dans votre message, c'est ça :

on te dit que ta fonction est 2π périodique et impaire donc si elle vaut 1 sur [0;π], elle vaut −1 sur [−π;0] donc par périodicité, en se décalant de 2π, elle vaut aussi −1 sur [π;2π].

Pourriez-vous m'expliquer comment vous obtenez les valeurs -1 ?
Comment représenter la fonction graphiquement avec uniquement la donnée de l'énoncé ?

[sos-math(21)]

Une fonction est impaire sur un domaine symétrique par rapport à 0, si $f(-x)=-f(x)$ : cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Donc si $f(x)=1$ sur $[0\,;\,\pi]$, alors $f(x)=-1$ sur $[-\pi\,;\,0]$.
Bonne continuation

[Invité]

Ah d'accord, merci beaucoup ! J'ai compris.

J'ai une autre question sur le même sujet : https://www.cjoint.com/data/JLcobn3Vnl4_exercice1.png

Ici, quelles seraient les bornes de l'intégrale ? Je n'y arrive pas, il y a notamment un problème : la fonction f n'est pas définie de la même manière partout sur la période...

Pourriez vous m'expliquer comment faire svp ?

merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta fonction est 10 périodique dont la définition de base est construite sur l'intervalle $[-5\,;\,5]$.
Il te suffit de calculer les intégrales sur les intervalles où la fonction est continue :
$\displaystyle \int_{-5}^{0}...dt+\int_{0}^{5}...dt$
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup pour l'aiguillage. Voici ce que j'ai fait. Est-ce correct ?

Les coefficients de Fourier trigonométriques de f sont pour tout n entier naturel non nul les réels :
$a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)cos(n\omega t)dt$
et : $b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)sin(n\omega t)dt$

On obtient donc :
$a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*cos(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt$
$b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*sin(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt$

Soit :
$a_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt$
$b_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt$

Après calcul, on obtient :
$a_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}cos(n\omega t)dt = \frac{6}{10} [\frac{1}{ n\omega} sin (n\omega t)]_0 ^5 = \frac{6}{10} (\frac{1}{ n\omega} sin (5 n\omega)).$

On obtient finalement (comme $\omega = \frac{2 \pi}{10}$) : $a_n(f)= \frac{3}{n \pi} sin (n \pi).$

D'autre part :
$b_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}sin(n\omega t)dt =\frac{6}{10} [-\frac{1}{ n\omega} cos (n\omega t)]_0 ^5=\frac{6}{10} (-\frac{1}{ n\omega} cos (5 n \omega) + \frac{1}{ n\omega}).$

Ici comment simplifier plus ?

Enfin :
$a_0(f)= \frac{1}{10} int_{-5}^{5}f(t)dt = \frac{3}{10} \int_{0}^{5} dt = \frac{3}{2}.$

Voyez-vous des erreurs dans tout ce que j'ai écrit ? Merci de l'aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta démarche est correcte et tes calculs semblent exacts.
tu dois pouvoir simplifier la valeur $sin(n\pi)$ : regarde sur le cercle trigonométrique les positions de ces nombres.
Même chose pour $cos(n\pi)$.

[Invité]

Merci beaucoup.

Je n'ai pas réussi à simplifier en regardant le cercle trigo...

Quelle est cette simplification à effectuer ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
les réels $n\pi$ sont situés sur le cercle à la valeur 0 ou à la valeur $\pi$ : c'est-à-dire les points de coordonnées (1,0) et (0,1).
Ces points ont tous les deux une ordonnées nulle donc pour tout entier $n$, $sin(n\pi)=0$.
De même, leurs abscisses vaut -1 ou 1 selon la parité de $n$ : $\cos(2k\pi)=cos(0)=1$ et $cos((2k+1)\pi)=cos(\pi)=-1$
Ainsi $cos(n\pi)=(-1)^n$.
Bonne conclusion

[Invité]

Ah oui merci !

Donc on est d'accord que pour tout n entier naturel non nul, an = 0 ?

De plus : comment simplifier l'expression de bn ?

Je pense qu'il faut faire une disjonction de cas : exprimer bn dans le cas pair / dans le cas impair, mais comment l'écrire concrètement ?

Merci je comprends bien grâce a vous !

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui, $a_n=0$ et si tu lis bien mon message, je t'ai parlé de $cos(n\pi)$ qui doit intervenir dans $b_n$ : cela permet donc de simplifier l'écriture de $b_n$.

[Invité]

Le problème ici c'est qu'on a cos (5nw) et pas cos (nw), alors comment faire le lien entre les 2 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne comprends pas bien.. tu n'as pas le même nombre dans tes cosinus et sinus au niveau de tes coefficients de Fourier ?
tu avais $5n\omega$ dans ton sinus, ce que tu as converti en $n\pi$. Pourquoi ne le fais-tu pas dans le cos ?
Quelque chose m'échappe ?

Merci beaucoup pour l'aiguillage. Voici ce que j'ai fait. Est-ce correct ?

Les coefficients de Fourier trigonométriques de f sont pour tout n entier naturel non nul les réels :
$a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)cos(n\omega t)dt$
et : $b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)sin(n\omega t)dt$

On obtient donc :
$a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*cos(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt$
$b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*sin(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt$

Soit :
$a_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt$
$b_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt$

Après calcul, on obtient :
$a_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}cos(n\omega t)dt = \frac{6}{10} [\frac{1}{ n\omega} sin (n\omega t)]_0 ^5 = \frac{6}{10} (\frac{1}{ n\omega} sin (5 n\omega)).$

On obtient finalement (comme $\omega = \frac{2 \pi}{10}$) : $a_n(f)= \frac{3}{n \pi} sin (n \pi).$

D'autre part :
$b_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}sin(n\omega t)dt =\frac{6}{10} [-\frac{1}{ n\omega} cos (n\omega t)]_0 ^5=\frac{6}{10} (-\frac{1}{ n\omega} cos (5 n \omega) + \frac{1}{ n\omega}).$

Ici comment simplifier plus ?

Enfin :
$a_0(f)= \frac{1}{10} int_{-5}^{5}f(t)dt = \frac{3}{10} \int_{0}^{5} dt = \frac{3}{2}.$

Voyez-vous des erreurs dans tout ce que j'ai écrit ? Merci de l'aide !

[Invité]

Ah oui non c'est bon j'ai compris ! Désolé, je suis fatigué...

Par contre, j'ai un autre exo un peu plus dur : https://www.cjoint.com/data/JLcsuE2drc4_3et4.png

Dans la Q3, qu'est-ce que ça signifie "en série de Fourier cosinus" et "en série de Fourier sinus" ?
On aurait 2 séries de Fourier ?!