Term S:problème avec les nombres complexes

[Invité]

Bonjour

Voici l'énoncé de l'exercice que je n'arrive pas à faire:
On considère le nombre complexe a=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$-i$\sqrt{2+\sqrt{3}}$
1) Calculer a² et déterminer le module et un argument de ce nombre
2) En déduire le module de a et vérifier que $\frac{19\pi}{12}$ est un argument de a.
3) Représenter sur une même figure les points d'affixes a, -a et a²
4) déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos$\frac{7\pi}{12}$, sin $\frac{7\pi}{12}$, puis cos$\frac{\pi}{12}$ et sin$\frac{\pi}{12}$
5) Représenter l'ensemble des points M(z) tels que a²z soit réel

Pour la question 1) j'ai trouvé a²=2-$\sqrt{3}$-2i-i$\sqrt{3}$ mais je ne sais pas si on doit laisser l'expression de a² ainsi ou s'il y a moyen de la simplifier.

Merci et à bientôt

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

Le résultat est faux: Et les égalités remarquables !
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
donc
$\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-i\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2=2-\sqrt{3}-2i\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}-2-\sqrt{3}$

A vous de finir.

[Invité]

Bonjour

Je crois qu'avec votre aide j'ai fini par trouver le résultat.
a²=2-$\sqrt{3}$-2i(2-$\sqrt{3}$)-2-$\sqrt{3}$
= -4i+2i$\sqrt{3}$
= 2i(-2+$\sqrt{3}$)

Merci beaucoup
Je vais maintenant essayer de faire la suite

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
votre résultat est faux car:
$\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\sqrt{4-3}$
Et oui, encore une égalité remarquable: $(x-y)(x+y=x^2-y^2$.
Et ce n'est pas la seule erreur...
Il faut reprendre les bases des calculs classiques.
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Voilà ce que j'ai trouvé
a²=2-$\sqrt{3}$-2i($\sqrt{4-3}$)-2-$\sqrt{3}$
=2-$\sqrt{3}$-2i-2-$\sqrt{3}$
=-2$\sqrt{3}$-2i
=-2($\sqrt{3}$+i)
Est-ce que c'est le bon résultat?

Merci beaucoup

[SoS-Math(8)]

Oui.

[Invité]

Bonjour

Pour la question 1), j'ai ensuite trouvé que sachant que a²=-2$\sqrt{3}$-2i
Le module de a² est $\sqrt{(-2\sqrt{3})²+(-2)²}$=$\sqrt{11}$-2$\sqrt{\sqrt{3}}$

Soit z=a²
z=($\sqrt{11}$-2$\sqrt{\sqrt{3}}$)($\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}$-$\frac{2i}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}$)
Si arg z="téta"(2$\pi$)
cos"téta"=$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}$
sin"téta"=$\frac{2}{\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}$

A partir de là je ne vois pas comment déterminer "téta" un argument de a². Je ne suis pas sûr de mes calculs. Comment faut-il faire?

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,

Vous écrivez : $\sqrt{(-2\sqrt{3})²+(-2)²}=\sqrt{11}-2\sqrt{\sqrt{3}}$
Ce calcul n'a aucun sens !!

$\sqrt{(-2\sqrt{3})²+(-2)²}=\sqrt{12 + 4} = ......$

A vous de continuer et de refaire la suite!

[Invité]

Bonsoir
On trouve donc que |a²|=$\sqrt{12+4}$
=$\sqrt{16}$
=4
Soit a²=-2$\sqrt{3}$-2i
a²=|a²|(cosO+isinO) (O="téta")
= 4(cosO+isinO)
Faut-il procéder ainsi?

[SoS-Math(2)]

C'est cela..
Bon courage

[Invité]

Bonjour
Voici la suite de mes réponces:

1) a²=4(cosO+isinO)
-2$\sqrt{3}$-2i=4(cosO+isinO)
cosO+isinO=$\frac{-2\sqrt{3}-2i}{4}$
Si arg a²=O(2$\pi$)
cosO=$\frac{-2\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
sinO=$\frac{-2}{4}$=$\frac{-1}{2}$
O=-$\frac{5\pi}{6}$+k2$\pi$
donc |a²|=4 et arg a²=-$\frac{5\pi}{6}$(2$\pi$)

2) |a|=$\sqrt{4}$=2
arga²=2arga (2$\pi$)
arg a=$\frac{arga²}{2}$
arg a=-$\frac{5\pi}{12}$ (2$\pi$)
$\frac{19\pi}{12}$=-$\frac{5\pi}{12}$+2$\pi$
donc $\frac{19\pi}{12}$ est un argument de a

3) J'ai réussi à représenter a² mais je ne vois pas comment faire pour a et -a

4) comment fait on pour calculer cos et sin de $\frac{19\pi}{12}$

5) Je ne comprend pas la question

Merci pour votre aide
A bientôt

[SoS-Math(2)]

Encore un peu de courage ...
Vous connaissez |a| donc la longueur OA et vous savez que arg(a) = 1/2 arg(a²)
donc vous savez que l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OA}$ = 1/2 $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OB})$ si le point B représente a²

Pour calculer $cos (\frac{19 \pi}{12})$ ainsi que son sinus, rappelez vous que $\frac{19 \pi}{12}$ = $\frac{-5\pi}{12}+2 \pi$
donc $cos (\frac{19 \pi}{12}) = cos (\frac{-5 \pi}{12})$
et $\frac{-5 \pi}{12} = \frac{1}{2} \times \frac{-5 \pi}{6}$
Aussi pensez à utiliser les formules de duplication.
A vous de continuer.

[Invité]

Bonjour

J'ai réussi à faire la question 2). Merci pour votre aide.
Pour la question 3) j'ai trouvé cos 7$\pi$/12=$\sqrt{3}$/4
sin 7$\pi$/12=1/4
cos $\pi$/12=1/4
sin $\pi$/12=-$\sqrt{3}$/4
Je ne comprend pas du tout ce qu'il faut faire pour la question 5).

Merci beaucoup pour votre aide

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
pour la question 5, il faut se rappeler que z est un réel ssi arg(z) = 0 [pi]
donc a²z est un réel ssi arg(a²z) = 0 [pi]
et vous savez que arg(z z') = arg(z) + arg(z')
A vous de continuer...

[Invité]

Merci beaucoup pour votre aide qui m'a permis de finir cet exercice.