ex arithmétique

[Yessine]

Bonjour,
Ex:

je ne comprends pas la correction de question 3)b):

pouvez vous m'aider?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes entiers $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $409x-68y=17$.
Le "si et seulement si" correspond à une équivalence donc on fait la preuve par double implication.

le sens direct $(pgcd(x,y)=17)\Longrightarrow (y\equiv 17k \,[x])$ : si 17 est le pgcd de $x$ et $y$, alors il divise $x$ et $y$, $x=17k$ et $y=17k'$ et la division euclidienne de $y$ par $x$ donne $y=qx+r$ donne $17k'=17k'q+r$ donc $r=17k'-17k'q=17(k-k'q)$ ce qui prouve bien que le reste est un multiple de 17.

Dans l'autre sens : $(y\equiv 17k \,[x])\Longrightarrow (pgcd(x,y)=17)$
on a encore la division euclidienne de $y$ par $x$ qui donne $y=qx+r$.
si on note $d=pgcd(x,y)$ alors $d|x$ et $d|y$ donc $d$ divise toute combinaison de $x$ et $y$ en particulier $d|409x-68y=17$ donc $d|17$
donc comme 17 est premier $d=1$ ou $d=17$.
Or on a vu dans la question 1 que si $x$ est solution de l''équation, alors c'est un multiple de 17 donc 17 divise $x$ donc aussi $qx$ et 17 divise le reste $r$ par hypothèse, donc $17$ divise $qx+r$ soit $17$ divise $y$. Donc 17 est un diviseur commun à $x$ et $y$ donc 17 divise leur pgcd et on a nécessairement $d=17$.
Est-ce plus clair ?

[Touhami]

Bonjour,
Ex:
Ex.jpg
je ne comprends pas la correction de question 3)b):
1.png
pouvez vous m'aider?
Merci d'avance

Bonjour,
On x=17+68k y=6x+k dans N
k est le bien le RESTE de la division euclidienne de y par x car 0<= k < x

Si y^x=17 alors 17 | y-6x ==> 17| k
Réciproquement, si 17 | k et comme il divise x alors 17 divise 6x+k donc 17| y.
17 est donc un diviseur commun à x et y.
X et y sont solutions de 409x-68y=17 ===> leur pgcd |17. Il en résulte que x^y = 17.

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'ai validé une autre explication venant d'un visiteur nommé Touhami.
Bonne continuation