ex arithmétique

Yessine · Message par **Yessine** » ven. 29 mai 2020 16:39

Bonjour,
Ex:

dans la correction de question 6)b) je ne comprends pas cette partie :

pouvez vous m'aider?
Merci d'avance

Message par **sos-math(21)** » ven. 29 mai 2020 21:58

Bonjour,
le corrigé s'appuie sur la notion de pgcd et de ppcm. Si

$d=pgcd(a,b)=a\wedge b$ alors il existe deux entiers naturels

$a'$ et

$b'$ premiers entre eux tels que

$a=da'$ et

$b=db'$ : c'est le principe du pgcd qui prend le plus grand dénominateur commun aux deux entiers et qui laisse les deux entiers

$a'$ et

$b'$ sans diviseur commun donc premiers entre eux

$a'\wedge b'=1$ .

Ensuite il existe une propriété qui relie le pgcd et le ppcm de deux entiers : leur produit est égal à celui de

$a$ par

$b$ :

$ab=d\times m$ donc en en remplaçant par

$a$ par

$da'$ et

$b$ par

$db'$ , on a

$dm=ab=da'db'$ soit en simplifiant par

$d$ ,

$m=da'b'$ .
Donc on remplace ensuite l'expression de

$m$ dans la relation donnée en hypothèse

$14m+13d=2012$ , qui devient

$14da'b'+13d=2012$ on peut ensuite factoriser par

$d$

$d(14a'b'+13)=2012$ ce qui signifie que

$d|2012$ .

Comme on a montré plus haut que

$d$ valait 2 ou 4, on raisonne ensuite par disjonction de cas en étudiant l'hypothèse

$d=2$ , ce qui permet de simplifier la relation précédente par 2, et on a

$14a'b'+13=1006$ puis en isolant le produit

$a'b'$ qui est un produit de deux entiers et qui doit donc être entier, on a

$a'b=\dfrac{1006}{13}$ qui n'est pas un entier, donc on aboutit à quelque chose de faux, donc par l'absurde, on en déduit que

$d$ ne peut pas être égal à 2 donc

$d=4$ .
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

Yessine · Message par **Yessine** » lun. 1 juin 2020 09:28

Super merci beaucoup c'est plus clair !

Message par **sos-math(21)** » lun. 1 juin 2020 09:29

Bonjour,
tant mieux si nos explications t'ont permis de comprendre.
Bonne continuation