Limite

[Inès]

Bonjour

Quand on a lim n->+inf de ln (vn) = s pourquoi faut-il préciser qu'on a par continuité de la fonction exponentielle, lim n->+inf vn = exp(s) ?

Pourquoi doit on préciser par continuité de la fonction exponentielle ?

Merci bcp

;/

[sos-math(21)]

Bonjour,
on a le résultat suivant :
une application \(f\) d'un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) est continue en \(a\in\mathbb{I}\) si et seulement si pour toute suite \((x_n)\) convergeant vers \(a\), la suite \((f(x_n))\) converge vers \(f(a)\).
En effet si la fonction n'est pas continue, cela peut ne pas fonctionner : par exemple la fonction \(f\,:x\longmapsto \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\) n'est pas continue en 0 car si l'on considère la suite \(x_n=\dfrac{1}{n\pi}\), cette suite tend vers 0, mais la suite image \(f(x_n)=(-1)^n\) ne converge pas.
Donc la condition de continuité est nécessaire et suffisante et il est normal de préciser par continuité.
Bonne continuation

[Invité]

OK merci bcp pour cet information.

Donc quand on a une composition de limites, on doit toujours préciser la continuité de la fonction par laquelle on compose ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui, c'est ce qui autorise dans la plupart des cas à prendre l'image de la limite.
Bonne continuation