Intégration

[Inès]

Bonjour

Est-ce que vous pourriez m'expliquer le changement de variables dans une intégrale ? Comment le rédiger de manière très rigoureuse dans un concours ?

Je sais qu'il y a "deux sens" dans la formule mais je ne sais jamais lequel utiliser ni comment, je m'embrouille tout le temps...

Pourriez vous donc m'expliquer cette technique et sa rédaction svp ?

Merci beaucoup bon après-midi

[sos-math(21)]

Bonjour,
la formule du changement de variable peut être vue comme la formule de dérivation d'une fonction composée lue à l'envers.
Quand on effectue un changement de variable en posant \(t=\varphi(u)\), on remplace formellement \(t\) par \(\varphi(u)\) et \(dt\) par \(\varphi '(u)du\) et on pense aussi à changer les bornes.
pour un exemple corrigé relativement bien rédigé, tu as : https://fr.wikiversity.org/wiki/Changement_de_variable_en_calcul_int%C3%A9gral/Formule_fondamentale_du_changement_de_variable
et aussi (page 16 et 17) : http://exo7.emath.fr/cours/ch_int.pdf
Si tu as besoin d'autres éclaircissements, n'hésite pas à demander de l'aide sur un exemple précis.
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup.

L'exemple de wikipédia est très clair merci.

Par contre l'exemple de wiki c'est quand on utilise la formule de changement de variable dans un sens.

Comment fait on si on doit utiliser la formule dans l'autre sens c'est à dire qu'au début on aurait intégrale entre phi(a) et phi(b) de f(s) ds et on voudrait transformer ceci entre l'autre égalité du théorème sur wiki ?

Je ne sais pas si je suis claire désolée...
Dites moi si vous comprenez ma question svp, merci !

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne comprends pas trop ce que tu entends par sens de la formule du changement de variable : le choix de ton changement de variable est dicté par la forme de ton expression, ce qui impose de fait le "sens" de la formule. En revanche, il faut effectivement que tu puisses facilement avoir la version réversible de ce changement de variable pour calculer les bornes et la dérivée :
par exemple pour l'intégrale \(I=\displaystyle \int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^2}dt\), on fait le changement de variable \(t=\sin(u)\) alors

• si \(t=-1\) alors \(\sin(u)=-1\) soit \(u=arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\)
• si \(t=\frac{1}{2}\) alors \(\sin(u)=\frac{1}{2}\) soit \(u=arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\)
• \(dt=\cos(u)du\)

donc on a \(I=\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/6}|\cos(u)|\cos(u)du= \int_{-\pi/2}^{\pi/6}\cos^2(u)du=\dfrac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/6}(1+\cos(2u))du=\left [\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin(2x)\right]_{-\pi/2}^{\pi/6}=\ldots\)
Bonne continuation