Bonjour
J'ai des souci avec le théorème de Schwartz (désolée c'est du poste bac). Ici c'est dans un cas d'utilisation en physique mais c'est quand-même des maths....
Le calculs : https://www.heberger-image.fr/image/lg5o
Je n'arrive pas du tout à comprendre comment ils passent du système de gauche au système de droite.
Pourriez-vous m'expliquer svp ? Pourriez-vous me détailler les calculs ? J'ai vraiment du mal à comprendre ce théorème de Schwartz...
Merci bcp de l'aide.
Calcul
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Bonjour,
le théorème de Schwarz concerne les dérivées partielles secondes : si on prend une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) il dit que si l'on dérive d'abord selon la première variable puis selon la deuxième, cela donne le même résultat que si on dérive d'abord selon la deuxième puis selon la première :
\(\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\)
Et dans ton cas, on l'applique à une forme différentielle exacte : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... de_Schwarz (voir la partie Application aux formes différentielles).
On dérive selon \(T\) et selon \(P\) et les dérivées partielles secondes "croisées" sont égales.
Bonne continuation
le théorème de Schwarz concerne les dérivées partielles secondes : si on prend une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) il dit que si l'on dérive d'abord selon la première variable puis selon la deuxième, cela donne le même résultat que si on dérive d'abord selon la deuxième puis selon la première :
\(\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\)
Et dans ton cas, on l'applique à une forme différentielle exacte : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... de_Schwarz (voir la partie Application aux formes différentielles).
On dérive selon \(T\) et selon \(P\) et les dérivées partielles secondes "croisées" sont égales.
Bonne continuation
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Invité
Re: Calcul
Merci de votre réponse.
Désolée mais je crois que je n'ai vraiment pas compris ce théorème...
Est-ce que vous pourriez m'expliquer avec un exemple de fonction de classe C2 s'il vous plaît ?
Désolée mais je crois que je n'ai vraiment pas compris ce théorème...
Est-ce que vous pourriez m'expliquer avec un exemple de fonction de classe C2 s'il vous plaît ?
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Calcul
Bonjour,
ce théorème affirme simplement que quand on dérive deux fois de suite selon des variables différentes, l'ordre n'a pas d'importance et les dérivées partielles secondes "croisées" sont égales :
on va prendre un exemple très simple du volume d'un cône qui dépend de deux variables : le rayon du disque de base \(r\) et la hauteur \(h\);
On a donc \(f(r,h)=\dfrac{\pi r^2 h}{3}\) et \(f\) est une forme différentielle sur \(\mathbb{R}^2\).
quand on effectue les dérivées partielles, on a :
\(\dfrac{\partial f}{\partial r}(r,h)=\dfrac{2r\pi h}{3}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial h}(r,h)=\dfrac{r^2\pi}{3}\)
Si on re-dérive selon la deuxième variable, on a alors :
\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial h\partial r}(r,h)=\dfrac{\partial}{\partial h}\left(\dfrac{2r\pi h}{3}\right)=\dfrac{2r\pi}{3}\) et \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial r\partial h}(r,h)=\dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{r^2 \pi}{3}\right)=\dfrac{2r\pi}{3}\)
On a bien égalité des dérivées partielles secondes deux "croisées".
Bonne continuation
ce théorème affirme simplement que quand on dérive deux fois de suite selon des variables différentes, l'ordre n'a pas d'importance et les dérivées partielles secondes "croisées" sont égales :
on va prendre un exemple très simple du volume d'un cône qui dépend de deux variables : le rayon du disque de base \(r\) et la hauteur \(h\);
On a donc \(f(r,h)=\dfrac{\pi r^2 h}{3}\) et \(f\) est une forme différentielle sur \(\mathbb{R}^2\).
quand on effectue les dérivées partielles, on a :
\(\dfrac{\partial f}{\partial r}(r,h)=\dfrac{2r\pi h}{3}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial h}(r,h)=\dfrac{r^2\pi}{3}\)
Si on re-dérive selon la deuxième variable, on a alors :
\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial h\partial r}(r,h)=\dfrac{\partial}{\partial h}\left(\dfrac{2r\pi h}{3}\right)=\dfrac{2r\pi}{3}\) et \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial r\partial h}(r,h)=\dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{r^2 \pi}{3}\right)=\dfrac{2r\pi}{3}\)
On a bien égalité des dérivées partielles secondes deux "croisées".
Bonne continuation
-
Invité
Re: Calcul
Merci beaucoup c'est très claire !
Je crois que j'ai compris.
Je crois que j'ai compris.
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Calcul
Tant mieux si tu as compris,
il te reste à l'appliquer à ton exercice de physique.
Bonne continuation
il te reste à l'appliquer à ton exercice de physique.
Bonne continuation
-
Invité
Re: Calcul
J'ai une autre question aussi de calcul :
https://www.heberger-image.fr/image/l5AX
Le corrigé donne à la question 2 : \(\Large -\frac{\alpha \omega cos\omega t}{(1+\alpha sin\omega t)^{2}}[C{_{0}}E-RC{_{0}i(t)}]-\frac{RC{_{0}}}{(1+\alpha sin\omega t)}\frac{di}{dt}\).
Comment en faisaint les approximations demandées dans l'énoncé on peut obtenir à la question 5.3 :
\(RC{_{0}}\frac{di}{dt}+i(t) \approx - \alpha \omega cos\omega t C{_{0}} E \) ?
Je vois pas comment les approximations demandées permettent d'écrire ça.
Merci bcp par avace de l'aide
https://www.heberger-image.fr/image/l5AX
Le corrigé donne à la question 2 : \(\Large -\frac{\alpha \omega cos\omega t}{(1+\alpha sin\omega t)^{2}}[C{_{0}}E-RC{_{0}i(t)}]-\frac{RC{_{0}}}{(1+\alpha sin\omega t)}\frac{di}{dt}\).
Comment en faisaint les approximations demandées dans l'énoncé on peut obtenir à la question 5.3 :
\(RC{_{0}}\frac{di}{dt}+i(t) \approx - \alpha \omega cos\omega t C{_{0}} E \) ?
Je vois pas comment les approximations demandées permettent d'écrire ça.
Merci bcp par avace de l'aide
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Calcul
Bonjour,
peux-tu me renvoyer l'intégralité de l'énoncé et du corrigé afin que je reconstitue la démarche et que je te l'explique ?
Bonne continuation.
peux-tu me renvoyer l'intégralité de l'énoncé et du corrigé afin que je reconstitue la démarche et que je te l'explique ?
Bonne continuation.
-
Invité
Re: Calcul
Bien sûr :
Sujet intégral : https://www.heberger-image.fr/images/20 ... 234592.png
Et sa correction : https://www.heberger-image.fr/image/lbmt
Est-ce que vous pourriez m'aider avec ça ?.
Merci bcp..
Sujet intégral : https://www.heberger-image.fr/images/20 ... 234592.png
Et sa correction : https://www.heberger-image.fr/image/lbmt
Est-ce que vous pourriez m'aider avec ça ?.
Merci bcp..
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Bonjour,
on dit que \(\alpha<<1\) donc tous les éléments exprimés sous la forme \(1+\alpha\sin(\omega t)\) sont assimilés à 1.
Pour la deuxième parenthèse \(\left[C_0E-RC_0i(t)\right]\), si on factorise par \(RC_0\), on a \(RC_0\left(\dfrac{E}{R}-i(t)\right)\), or on nous dit que \(i(t)<<\dfrac{E}{R}\) donc on ne garde que \(\dfrac{E}{R}\) donc cela devient :
\(i(t)=-\alpha\omega\cos(\omega t)RC_0\dfrac{E}{R}-RC_0\dfrac{di}{dt}\).
Voilà qui permet de simplifier l'équation.
Bonne continuation
on dit que \(\alpha<<1\) donc tous les éléments exprimés sous la forme \(1+\alpha\sin(\omega t)\) sont assimilés à 1.
Pour la deuxième parenthèse \(\left[C_0E-RC_0i(t)\right]\), si on factorise par \(RC_0\), on a \(RC_0\left(\dfrac{E}{R}-i(t)\right)\), or on nous dit que \(i(t)<<\dfrac{E}{R}\) donc on ne garde que \(\dfrac{E}{R}\) donc cela devient :
\(i(t)=-\alpha\omega\cos(\omega t)RC_0\dfrac{E}{R}-RC_0\dfrac{di}{dt}\).
Voilà qui permet de simplifier l'équation.
Bonne continuation