Bonjour
J'ai une question de DM que je trouve un peu difficile.
Soit phi une application dérivable sur R+.
On note G et F les applications de R+ * dans R définies par :
Pour tout x appartenant à R+ *, G(x)=intégrale entre 0 et x de exp(t).phi(t).dt et F(x)=1/(exp (x)-1) . G(x).
Montrer que G et F sont des applications dérivables sur R+ * et que leurs dérivées sont continues sur R+ *.
Le symbole intégrale me gène... Comment lever ce souci ?
Merci bcp de l'aide
Fonctions
-
sos-math(21)
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Re: Fonctions
Bonjour,
il ne faut pas se sentir gêné par le symbole de l'intégrale et s'appuyer sur le théorème fondamental suivant :
pour toute fonction continue \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\), la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \(\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt\) est dérivable et sa dérivée vérifie \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\).
ta fonction \(\varphi\) étant dérivable, elle est continue et la fonction exponentielle étant aussi continue sur \(\mathbb{R}_+^*\), le produit \(t\mapsto \varphi(t)\text{e}^t\) est aussi continue donc la fonction \(G\) est dérivable d'après la propriété précédente et sa dérivée est égale à \(G'(x)=\varphi(x)\text{e}^x\), laquelle est continue par hypothèse.
Je te laisse faire la fonction \(H\) avec une démarche assez proche.
Bonne continuation
il ne faut pas se sentir gêné par le symbole de l'intégrale et s'appuyer sur le théorème fondamental suivant :
pour toute fonction continue \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\), la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \(\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt\) est dérivable et sa dérivée vérifie \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\).
ta fonction \(\varphi\) étant dérivable, elle est continue et la fonction exponentielle étant aussi continue sur \(\mathbb{R}_+^*\), le produit \(t\mapsto \varphi(t)\text{e}^t\) est aussi continue donc la fonction \(G\) est dérivable d'après la propriété précédente et sa dérivée est égale à \(G'(x)=\varphi(x)\text{e}^x\), laquelle est continue par hypothèse.
Je te laisse faire la fonction \(H\) avec une démarche assez proche.
Bonne continuation
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Invité
Re: Fonctions
Merci beaucoup c'est bien plus clair maintenant !
🙂
🙂
-
Inès
Re: Fonctions
Il y a 2 autre questions sur laquelle je bloque :
1. On note phi_maj la primitive de F définie sur R+ et s'annulent en 0. Montrer que pour tout réel x supérieur ou égal à 4, x inférieur ou égal à exp(x/2)-1 puis que pour tout réel x supérieur ou égal à 4, F(x) inférieur ou égal à 1/(exp(x/2)+1) inférieur ou égal à exp (-x/2). En déduire que la fonction phi_maj est bornée sur R+.
J'ai mis le corrigé en photo : https://www.heberger-image.fr/image/MQMe
Dans ce corrigé pourquoi est il écrit tout en bas à gauche phi_maj(4) inf égal à phi_maj(x) d'après le puisque..... ? Pourquoi peut on écrire ça et pourquoi en a t on besoin pour la démonstration du dernier point (que je n'ai pas comprise, les autres je les ai comprises) ?
2. Montrer que pour tout t réel et pour tout n entier naturel non nul on a :
2.sin(t/2).(cos(t)+...+cos(nt))=sin((2n+1)/(2) .t) - sin(t/2).
Là pour le coup je ne vois aucune méthode évidente. En voyez vous une ?
Merci encore de l'aide SOS math : grâce à vous je progresse enfin j'espère ! 🙂
1. On note phi_maj la primitive de F définie sur R+ et s'annulent en 0. Montrer que pour tout réel x supérieur ou égal à 4, x inférieur ou égal à exp(x/2)-1 puis que pour tout réel x supérieur ou égal à 4, F(x) inférieur ou égal à 1/(exp(x/2)+1) inférieur ou égal à exp (-x/2). En déduire que la fonction phi_maj est bornée sur R+.
J'ai mis le corrigé en photo : https://www.heberger-image.fr/image/MQMe
Dans ce corrigé pourquoi est il écrit tout en bas à gauche phi_maj(4) inf égal à phi_maj(x) d'après le puisque..... ? Pourquoi peut on écrire ça et pourquoi en a t on besoin pour la démonstration du dernier point (que je n'ai pas comprise, les autres je les ai comprises) ?
2. Montrer que pour tout t réel et pour tout n entier naturel non nul on a :
2.sin(t/2).(cos(t)+...+cos(nt))=sin((2n+1)/(2) .t) - sin(t/2).
Là pour le coup je ne vois aucune méthode évidente. En voyez vous une ?
Merci encore de l'aide SOS math : grâce à vous je progresse enfin j'espère ! 🙂
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sos-math(21)
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Re: Fonctions
Re-bonjour,
Tant mieux si c'est plus clair pour toi. Comme tu le vois, c'est surtout de la justification qui se base sur une utilisation des théorèmes de cours : il n'y pas vraiment de calcul (pour G un peu plus).
Bonne continuation
Tant mieux si c'est plus clair pour toi. Comme tu le vois, c'est surtout de la justification qui se base sur une utilisation des théorèmes de cours : il n'y pas vraiment de calcul (pour G un peu plus).
Bonne continuation
-
sos-math(21)
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Re: Fonctions
Bonjour,
il y a plusieurs questions qui s'enchaînent et il s'agit de réutiliser les résultats obtenus précédemment.
Pourrais-tu envoyer une photo de ton énoncé afin de voir l'enchainement des questions ?
Cela me permettra d'avoir une réponse un peu plus claire
Pour la somme trigonométrique, je te conseille de repasser par les complexes en posant :
\(C=\cos(t)+\cos(2t)+\ldots+\cos(nt)\) et \(S=\sin(t)+\sin(2t)+\ldots+\sin(nt)\) et tu calcules \(Z=C+iS\) :
\(Z=C+iS=\cos(t)+i\sin(t)+\cos(2t)+i\sin(2t)+\ldots+\cos(nt)+i\sin(nt)=\text{e}^{it}+\text{e}^{i2t}+\ldots+\text{e}^{\text{i}nt}\)
Et là tu reconnais la somme des termes d'une suite géométrique que tu sais calculer et tu en extrairas la partie réelle pour retrouver \(C\).
Bon calcul
il y a plusieurs questions qui s'enchaînent et il s'agit de réutiliser les résultats obtenus précédemment.
Pourrais-tu envoyer une photo de ton énoncé afin de voir l'enchainement des questions ?
Cela me permettra d'avoir une réponse un peu plus claire
Pour la somme trigonométrique, je te conseille de repasser par les complexes en posant :
\(C=\cos(t)+\cos(2t)+\ldots+\cos(nt)\) et \(S=\sin(t)+\sin(2t)+\ldots+\sin(nt)\) et tu calcules \(Z=C+iS\) :
\(Z=C+iS=\cos(t)+i\sin(t)+\cos(2t)+i\sin(2t)+\ldots+\cos(nt)+i\sin(nt)=\text{e}^{it}+\text{e}^{i2t}+\ldots+\text{e}^{\text{i}nt}\)
Et là tu reconnais la somme des termes d'une suite géométrique que tu sais calculer et tu en extrairas la partie réelle pour retrouver \(C\).
Bon calcul
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Invité
Re: Fonctions
Merci de la réponse.
Et d'ailleurs il a un nom le théorème fondamental que vous avez utilisé dans votre premier message ? C'est le théorème fondamental de l'analyse ou pas ?
Voici l'énoncé : https://www.heberger-image.fr/image/Mkw4
La première question était la question que vous m'avez permis de comprendre. Ensuite j'ai tout compris jusqu'à la 1.c (inclus) de la deuxième partie.
A la 2.a de la deuxième partie j'ai compris la démonstration des 2 premiers points mais pas celle du dernier point avec le phi_maj(4) inf égal à phi_maj(x)...
Pour la question 1 de la troisième partie, je vais essayer ! Ça ma l'air d'être une question assez difficile non ?
Merci encore de m'aider c'est génial en ces temps difficiles.
Et d'ailleurs il a un nom le théorème fondamental que vous avez utilisé dans votre premier message ? C'est le théorème fondamental de l'analyse ou pas ?
Voici l'énoncé : https://www.heberger-image.fr/image/Mkw4
La première question était la question que vous m'avez permis de comprendre. Ensuite j'ai tout compris jusqu'à la 1.c (inclus) de la deuxième partie.
A la 2.a de la deuxième partie j'ai compris la démonstration des 2 premiers points mais pas celle du dernier point avec le phi_maj(4) inf égal à phi_maj(x)...
Pour la question 1 de la troisième partie, je vais essayer ! Ça ma l'air d'être une question assez difficile non ?
Merci encore de m'aider c'est génial en ces temps difficiles.
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Invité
Re: Fonctions
Pour la question sur la somme trigonométrique, voici où j'en suis :
Z=C+iS=cos(t)+cos(2t)+cos(3t)+...+cos(nt) + i.sin(t)+i.sin(2t)+i.sin(3t)+...+i.sin(nt).
Z=e^(it)+e^(i2t)+e^(i3t)+...+e^(int).
J'ai reconnu une suite géométrique de premier terme u0=e^(it) et de raison q=e^(it) de tel sorte à ce que l'on est : u1=u0.e^(it).
La somme des termes de cette suite géométrique est donc égal à : u0.(1-q^n)/(1-q).
Mais comment peut-on ensuite extraire la partie réelle de cette somme ? Mais de toute façon je crois que je n'ai pas pris la bonne raison, si ?
Merci
Z=C+iS=cos(t)+cos(2t)+cos(3t)+...+cos(nt) + i.sin(t)+i.sin(2t)+i.sin(3t)+...+i.sin(nt).
Z=e^(it)+e^(i2t)+e^(i3t)+...+e^(int).
J'ai reconnu une suite géométrique de premier terme u0=e^(it) et de raison q=e^(it) de tel sorte à ce que l'on est : u1=u0.e^(it).
La somme des termes de cette suite géométrique est donc égal à : u0.(1-q^n)/(1-q).
Mais comment peut-on ensuite extraire la partie réelle de cette somme ? Mais de toute façon je crois que je n'ai pas pris la bonne raison, si ?
Merci
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sos-math(21)
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Re: Fonctions
Bonjour,
on te demande dans ce cas particulier de travailler avec \(\varphi(t)=\text{e}^{-t}\) donc \(G(x)=\int_{0}^{x}\text{e}^{t}\text{e}^{-t}dt=\int_{0}^{x}1 dt=x\) et \(F(x)=\dfrac{x}{\text{e}^x-1}\).
On étudie la fonction \(d(x)=\text{e}^{x/2}-x-1\) sur \([4\,;\,+\infty[\) Pourquoi 4 ? Pour que cela marche ! (C'est l'énoncé qui est construit pour que cela fonctionne et il faut dépasser le côté un peu magique de ces sujets).
En étudiant la fonction différence \(d\) on montre qu'elle est croissante donc qu'elle a un minimum en 4 et \(d(4)\geqslant 0\) donc \(d\) est positive :
\(\text{e}^{x/2}-x-1\geqslant 0\) et donc \(x\leqslant \text{e}^{x/2}-1\) et en particulier \(\dfrac{x}{\text{e}^{x/2}-1} \leqslant 1\). Cette minoration permet de majorer \(F(x)\) en utilisant la décomposition :
\(F(x)=\dfrac{x}{\text{e}^x-1}=\underbrace{\dfrac{x}{\text{e}^{x/2}-1}}_{\leqslant 1}\dfrac{1}{\text{e}^{x/2}+1}\)
Donc \(F(x)\leqslant \dfrac{1}{\text{e}^{x/2}+1}\leqslant \dfrac{1}{\text{e}^{x/2}}=\text{e}^{-x/2}\) sur \([4,+\infty[\) Il reste ensuite à passer à l'intégrale dans cette inégalité, et on a, en décomposant avec la relation de Chasles, \(\Phi(x)= \int_0^x F(t)dt= \int_0^4 F(t)dt+ \int_4^x F(t)dt\)
Or l'intégrale entre 0 et 4 est égale à \(\Phi(4)\) (nombre réel) et on a ensuite,
\(0\leqslant \int_4^x F(t)dt\leqslant \int_4^x\text{e}^{-t/2}dt\leqslant 2\text{e}^{-2}\) donc au final, on a pu borner la fonction \(\Phi\)
Car \(\Phi(4)\leqslant \Phi(x)\leqslant \Phi(4)+\text{e}^{-2}\). Ce qui répond bien à la question 2.
Pour la suite géométrique, c'est bien une suite géométrique de premier terme \(u_0=\text{e}^{it}\) et de raison \(q=\text{e}^{it}\) et ce qu'on cherche est la somme des termes de 0 à n-1 donc on a bien \(Z=\text{e}^{it}\dfrac{\text{e}^{int}-1}{\text{e}^{it}-1}\).
Ensuite, il faut arranger cette somme en factorisant par l'angle moitié afin de faire apparaître des sinus.
Je te laisse poursuivre.
Bonne continuation
on te demande dans ce cas particulier de travailler avec \(\varphi(t)=\text{e}^{-t}\) donc \(G(x)=\int_{0}^{x}\text{e}^{t}\text{e}^{-t}dt=\int_{0}^{x}1 dt=x\) et \(F(x)=\dfrac{x}{\text{e}^x-1}\).
On étudie la fonction \(d(x)=\text{e}^{x/2}-x-1\) sur \([4\,;\,+\infty[\) Pourquoi 4 ? Pour que cela marche ! (C'est l'énoncé qui est construit pour que cela fonctionne et il faut dépasser le côté un peu magique de ces sujets).
En étudiant la fonction différence \(d\) on montre qu'elle est croissante donc qu'elle a un minimum en 4 et \(d(4)\geqslant 0\) donc \(d\) est positive :
\(\text{e}^{x/2}-x-1\geqslant 0\) et donc \(x\leqslant \text{e}^{x/2}-1\) et en particulier \(\dfrac{x}{\text{e}^{x/2}-1} \leqslant 1\). Cette minoration permet de majorer \(F(x)\) en utilisant la décomposition :
\(F(x)=\dfrac{x}{\text{e}^x-1}=\underbrace{\dfrac{x}{\text{e}^{x/2}-1}}_{\leqslant 1}\dfrac{1}{\text{e}^{x/2}+1}\)
Donc \(F(x)\leqslant \dfrac{1}{\text{e}^{x/2}+1}\leqslant \dfrac{1}{\text{e}^{x/2}}=\text{e}^{-x/2}\) sur \([4,+\infty[\) Il reste ensuite à passer à l'intégrale dans cette inégalité, et on a, en décomposant avec la relation de Chasles, \(\Phi(x)= \int_0^x F(t)dt= \int_0^4 F(t)dt+ \int_4^x F(t)dt\)
Or l'intégrale entre 0 et 4 est égale à \(\Phi(4)\) (nombre réel) et on a ensuite,
\(0\leqslant \int_4^x F(t)dt\leqslant \int_4^x\text{e}^{-t/2}dt\leqslant 2\text{e}^{-2}\) donc au final, on a pu borner la fonction \(\Phi\)
Car \(\Phi(4)\leqslant \Phi(x)\leqslant \Phi(4)+\text{e}^{-2}\). Ce qui répond bien à la question 2.
Pour la suite géométrique, c'est bien une suite géométrique de premier terme \(u_0=\text{e}^{it}\) et de raison \(q=\text{e}^{it}\) et ce qu'on cherche est la somme des termes de 0 à n-1 donc on a bien \(Z=\text{e}^{it}\dfrac{\text{e}^{int}-1}{\text{e}^{it}-1}\).
Ensuite, il faut arranger cette somme en factorisant par l'angle moitié afin de faire apparaître des sinus.
Je te laisse poursuivre.
Bonne continuation
-
Inès
Re: Fonctions
Merci beaucoup pour toutes ces explications, je vais les lire ce soir. Je vous dirais ensuite si j'ai compris.
Cela n'a pas grand chose à voir, mais tout à l'heure il m'est venue une réflexion : je crois qu'il y a des exercices classiques où on somme des intégrales et je crois que c'est quelque chose d'important mais je n'arrive pas à retrouver un exercice où ça intervient.
Dans mes souvenirs on utilisant Chasles : est-ce que ce genre d'exo avec des sommes d'intégrales vous dit quelque chose ?
Merci encore et bonne soirée
Cela n'a pas grand chose à voir, mais tout à l'heure il m'est venue une réflexion : je crois qu'il y a des exercices classiques où on somme des intégrales et je crois que c'est quelque chose d'important mais je n'arrive pas à retrouver un exercice où ça intervient.
Dans mes souvenirs on utilisant Chasles : est-ce que ce genre d'exo avec des sommes d'intégrales vous dit quelque chose ?
Merci encore et bonne soirée
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonctions
Rebonjour,
actuellement sur le forum il y a ce sujet où on parle d'intégrale et de relation de Chasles :
http://sosmath.ac-poitiers.fr/viewtopic.php?f=9&t=19394
C'est un cas typique utilisant la suite harmonique et qui mène à la constante d'Euler.
On a donc souvent dans des sujets de concours des séries où le terme général est une intégrale et par sommation, on utilise Chasles pour réduire cette somme d'intégrales à une seul intégrale.
Je complète mon propos sur la somme géométrique :
https://drive.google.com/file/d/1VVWyHDjntBvNcYJlnaIUwVQ2nsOMyNPZ/view?usp=sharing
Comme c'était long à écrire avec le clavier, j'ai fait cela de manière manuscrite.
Bonne continuation
actuellement sur le forum il y a ce sujet où on parle d'intégrale et de relation de Chasles :
http://sosmath.ac-poitiers.fr/viewtopic.php?f=9&t=19394
C'est un cas typique utilisant la suite harmonique et qui mène à la constante d'Euler.
On a donc souvent dans des sujets de concours des séries où le terme général est une intégrale et par sommation, on utilise Chasles pour réduire cette somme d'intégrales à une seul intégrale.
Je complète mon propos sur la somme géométrique :
https://drive.google.com/file/d/1VVWyHDjntBvNcYJlnaIUwVQ2nsOMyNPZ/view?usp=sharing
Comme c'était long à écrire avec le clavier, j'ai fait cela de manière manuscrite.
Bonne continuation
-
Invité
Re: Fonctions
Merci beaucoup je vais lire tout ça ! Aucun problèmeme pour le manuscrit.
Et je crois avoir retrouvé le nom de l'exo qui me pose problème : c'est la comparaison série intégrale : est-ce que vous connaissez le principe ? Je ne le comprends pas...
Je vais essayer de retrouver l'exercice précis.
Et je crois avoir retrouvé le nom de l'exo qui me pose problème : c'est la comparaison série intégrale : est-ce que vous connaissez le principe ? Je ne le comprends pas...
Je vais essayer de retrouver l'exercice précis.
-
sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonctions
Rebonjour,
c'est ce que je te disais dans mon dernier message : les problèmes autour de la constante d'Euler en sont un exemple :
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/SerieHarmonique.pdf
ou encore la formule de Stirling :
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/FormuleDeStirling.pdf
ou encore la fonction \(\zeta \) (zeta) de Riemann :
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/ZetaDe2.pdf
mais il y en a d'autres.
Bonne continuation
c'est ce que je te disais dans mon dernier message : les problèmes autour de la constante d'Euler en sont un exemple :
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/SerieHarmonique.pdf
ou encore la formule de Stirling :
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/FormuleDeStirling.pdf
ou encore la fonction \(\zeta \) (zeta) de Riemann :
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/ZetaDe2.pdf
mais il y en a d'autres.
Bonne continuation
-
Invité
Re: Fonctions
Merci beaucoup je vais lire tout ça.
Je pense que je vous recontacterai demain.
Merci !
Je pense que je vous recontacterai demain.
Merci !
-
sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonctions
Bonjour,
ces exemples sont des grands classiques à travailler car les méthodes mises en jeu peuvent resservir un jour de concours.
Réussir des concours, c'est d'abord maitriser des techniques et des méthodes.
À bientôt donc
ces exemples sont des grands classiques à travailler car les méthodes mises en jeu peuvent resservir un jour de concours.
Réussir des concours, c'est d'abord maitriser des techniques et des méthodes.
À bientôt donc