suite

[Cyprien]

Bonjour,
Voilà ma problématique :
On considère la suite $(u_{n})$ définie par récurrence tel que :$\left\{\begin{matrix} u_{0}=0,5\\ u_{n+1}=u{_{n}-u_{n}^{2}} \end{matrix}\right.$
et je dois montrer que pour tout $n \in \mathbb{N^{*}}, u_{n}\leq \frac{1}{n}$
J'ai essayé un raisonnement par récurrence mais cela n'a pas abouti.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Bonne journée
Cyprien

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
as tu montré que la suite était décroissante?
as tu essayé d'utiliser une fonction?

[Invité]

Bonjour,
Oui j'ai démontré que la suite était décroissante et bornée par 0 et 0,5 donc convergente.

[SoS-Math(33)]

Tu peux utiliser la fonction $f(x)=x-x²$.
Cette fonction est décroissante facile à montrer
$U_{n+1}=f(U_n)$
Je te laisse poursuivre

[Invité]

Oui tout ça je l'ai fait mais je vois pas en quoi ça m'aide à montrer que $u_{n}\leq \frac{1}{n}$ ?

[SoS-Math(33)]

Tu as : $U_n \leq \frac{1}{n}$
En utilisant la fonction et sa décroissance tu peux écrire :
$f(U_n) \leq f(\frac{1}{n})$
$U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-(\frac{1}{n})^2$
Soit : $U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$

Il te reste à montrer que $\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n+1}$

[Invité]

Merci pour votre aide, je bloquais complètement sur cette question.
Je vous souhaite une bonne soirée.

[SoS-Math(33)]

Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoSmath