Vecteur

[Yvon]

Bonjour J'ai un problème avec l'un de mes exercices de mathématiques, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît. Voici le sujet:

ABC est un triangle.
Les points M et N sont tels que: AM=1/3AB et CN=2/3CA.
1.Faire une figure
2. Trouver un nombre k tel que MN=kBC
3.Déduires que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.


Merci

[sos-math(27)]

Bonjour Yvon,
Qu'à tu commencé à chercher ?
as tu réussi à faire la figure ? (tu peux poster une photo)

Pour la question 2, il faut "décomposer" le vecteur $\vec{MN}$ avec le point $A$, et donc écrire : $\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AN}$
à bientôt

[Yvon]

C'est la relation de chasles pour la question 2 mais je n'arrive pas à aller au bout de la démarche

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je te conseille de décomposer comme l'a proposé sos-math(27) :
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}$
Or on a des informations sur $\overrightarrow{CN}$ donc on intercale $C$ dans $\overrightarrow{AN}$ :
$\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}$
Là je te laisse conclure...

[Yvon]

AM=1/3 donc BM=2/3 et je ne vois vraiment pas comment conclure.

[sos-math(27)]

Bonsoir,
Attention Yvon, un vecteur n'est pas égal à un nombre !!

Le calcul donnée par sos-math(21) peut être continué : tu peux additionner $\overrightarrow{AC}$ et $\frac{2}{3} \overrightarrow{CA}$,
tu vas obtenir une expression où le nombre $\frac{1}{3}$ pourra être mis en facteur...

A toi de continuer !

[sos-math(21)]

Yvon,
Il faut que tu réduises la somme vectorielle à droite : $\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}-\dfrac {2}{3}\overrightarrow{AC}=...$, cela se réduit.
Ensuite, on pourra réduire encore la somme grâce à la relation de Chasles.

[Moma]

Je ne comprends vraiment pas pourriez vous me donner la conclusion car je ne vois pas l'aboutissement.

[sos-math(21)]

Bonjour,
est-ce que tu sais calculer $1-\dfrac{2}{3}=\ldots$ ?
Si tu sais combien cela fait alors tu sauras calculer $\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\overrightarrow{AC}=\ldots \overrightarrow{AC}$
Ensuite, il te sera possible de réduire l'écriture vectorielle car tu auras le même coefficient qui te permettra de "factoriser" :
$\ldots(\overrightarrow{B\underline{A}}+\overrightarrow{\underline{A}C})=\ldots\times \overrightarrow{BC}$ par la relation de Chasles.
Et tu auras ainsi établi une relation de la forme $\overrightarrow{MN}=k\times \overrightarrow{BC}$, ce qui montrera que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires et prouvera dans le même temps que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Bonne rédaction, en espérant que ce message te permette de conclure.