Inégalité

[Théophraste]

Bonjour,

Voudriez-vous m'aider à démontrer SVP que l'inégalité

\(a^{2}b(c-a)+b^{2}c(a-b)+c^{2}a(b-a) \leq 0\)

est vérifiée pour tout \(a\geq 0\), \(b\geq 0\), \(c\geq 0\).

Merci d'avance.

Théophraste

[SoS-Math(9)]

Bonjour Théophraste,

Je pense qu'il doit y avoir une erreur dans votre formule : \(a^2b(c-a)+b^2c(a-b)+c^2a(b-c)\leq{}0\)
Voici un début pour t'aider à trouver la réponse ....
\(a^2b(c-a)+b^2c(a-b)+c^2a(b-c)\)
= \(abc[\frac{a}{c}(c-a)+\frac{b}{a}(a-b)+\frac{c}{b}(b-c)]\)
= \(abc[\frac{a}{c}(c-b+b-a)+\frac{b}{a}(a-b)+\frac{c}{b}(b-c)]\)
= \(abc[(\frac{a}{c}-\frac{c}{b})(c-b)+(\frac{b}{a}-\frac{a}{c})(a-b)]\)

Maintenant on peut supposer que \(0\leq{}a\leq{}b\leq{}c\).

Il reste alors à étudier le signe de \((\frac{a}{c}-\frac{c}{b})(c-b)\) et \((\frac{b}{a}-\frac{a}{c})(a-b)\)

A vous de jouer.

SoSMath.

[Théophraste]

Bonjour,

Bien sûr, il ya eu une erreur de frappe ( à cause du TeX...)!

Merci beaucoup,

Théophraste.

[SoS-Math(9)]

Bonne continuation,
SoSMath.