Inégalité

[Théophraste]

Bonjour,

Voudriez-vous m'aider à démontrer SVP que l'inégalité

$a^{2}b(c-a)+b^{2}c(a-b)+c^{2}a(b-a) \leq 0$

est vérifiée pour tout $a\geq 0$, $b\geq 0$, $c\geq 0$.

Merci d'avance.

Théophraste

[SoS-Math(9)]

Bonjour Théophraste,

Je pense qu'il doit y avoir une erreur dans votre formule : $a^2b(c-a)+b^2c(a-b)+c^2a(b-c)\leq{}0$
Voici un début pour t'aider à trouver la réponse ....
$a^2b(c-a)+b^2c(a-b)+c^2a(b-c)$
= $abc[\frac{a}{c}(c-a)+\frac{b}{a}(a-b)+\frac{c}{b}(b-c)]$
= $abc[\frac{a}{c}(c-b+b-a)+\frac{b}{a}(a-b)+\frac{c}{b}(b-c)]$
= $abc[(\frac{a}{c}-\frac{c}{b})(c-b)+(\frac{b}{a}-\frac{a}{c})(a-b)]$

Maintenant on peut supposer que $0\leq{}a\leq{}b\leq{}c$.

Il reste alors à étudier le signe de $(\frac{a}{c}-\frac{c}{b})(c-b)$ et $(\frac{b}{a}-\frac{a}{c})(a-b)$

A vous de jouer.

SoSMath.

[Théophraste]

Bonjour,

Bien sûr, il ya eu une erreur de frappe ( à cause du TeX...)!

Merci beaucoup,

Théophraste.

[SoS-Math(9)]

Bonne continuation,
SoSMath.