Bonjour on a Un=n!/((x+1)...(x+n)) et Vn=u1+....Un
On suppose x>1 et je dois montrer que (x-1)Vn=1-(n+1)Un Et déduire que Vn converge mais je suis bloquée pouvez-vous me rendre un coup de main svp ?
Convergence
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Marion
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SoS-Math(11)
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Re: Convergence
Re bonjour,
l'inspiration m'étant venue je te propose d'utiliser un raisonnement par récurrence.
Soit \(P(k)\) la propriété : \((x-1)V_{k}=1-(k+1)U_k\).
Vérifie que \(P(1)\) est vraie, utilise l'astuce de calcul \((x-1)=(x+1)-2\).
Pour démontrer l'hérédité : suppose \(P(n)\) vraie : \((x-1)V_{n}=1-(n+1)U_n\)
Calcule alors \((x-1)V_{n+1}\) en utilisant le fait que \(V_{n+1}=V_n+\frac{(n+1)!}{(x+1)...(x+n+1)}\).
Les calculs sont un peu longs mais on arrive au résultat à savoir que \((x-1)V_{n+1}=1-(n+1+1)U_{n+1}\).
Ensuite vérifie que \(U_n\) est borné et déduis-en la convergence de \(V_n\) qui est croissante.
Bon courage et bonnes fêtes de fin d'année
l'inspiration m'étant venue je te propose d'utiliser un raisonnement par récurrence.
Soit \(P(k)\) la propriété : \((x-1)V_{k}=1-(k+1)U_k\).
Vérifie que \(P(1)\) est vraie, utilise l'astuce de calcul \((x-1)=(x+1)-2\).
Pour démontrer l'hérédité : suppose \(P(n)\) vraie : \((x-1)V_{n}=1-(n+1)U_n\)
Calcule alors \((x-1)V_{n+1}\) en utilisant le fait que \(V_{n+1}=V_n+\frac{(n+1)!}{(x+1)...(x+n+1)}\).
Les calculs sont un peu longs mais on arrive au résultat à savoir que \((x-1)V_{n+1}=1-(n+1+1)U_{n+1}\).
Ensuite vérifie que \(U_n\) est borné et déduis-en la convergence de \(V_n\) qui est croissante.
Bon courage et bonnes fêtes de fin d'année
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Marion
Re: Convergence
Merci beaucoup de votre inspiration Sos-Maths(11)
En cherchant j'ai donc (x-1)Vn+1=(x-1)Vn+(n+1)!/((x+1)...(x+n+1)) x (x-1)
On remplace (x-1)Vn par 1-(n+1)Un mais la partie de droite je vois pas comment la remplacé j'ai mis Un+1x(x-1) mais je pense sa faux ... pouvez-vous m'aiguiller car la je suis paumée ...
En cherchant j'ai donc (x-1)Vn+1=(x-1)Vn+(n+1)!/((x+1)...(x+n+1)) x (x-1)
On remplace (x-1)Vn par 1-(n+1)Un mais la partie de droite je vois pas comment la remplacé j'ai mis Un+1x(x-1) mais je pense sa faux ... pouvez-vous m'aiguiller car la je suis paumée ...
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SoS-Math(11)
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Re: Convergence
C'est un début :
il faut développer \((x-1)U_{n+1}\), cela donne \((x-1)U_{n+1}=(x+1)U{n+1}-2U_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}\).
Tu as donc \((x-1)V_{n+1}=1-(n+1)U_n+\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}=1-\frac{(n+1)!}{(x+1)...(x+n)}+\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}\)
Réduis au même dénominateur et ajoute les deux fractions, il doit te rester juste la bonne réponse.
Pour continuer pense que si \(x>1\) alors \((x+1)(x+2)...(x+n)>2\times{3}\times{4}...\times{n+1}=(n+1)!\), ce qui te sert à prouver que \((n+1)U_n\) est borné.
Bon courage et bonnes fêtes de fin d'année
il faut développer \((x-1)U_{n+1}\), cela donne \((x-1)U_{n+1}=(x+1)U{n+1}-2U_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}\).
Tu as donc \((x-1)V_{n+1}=1-(n+1)U_n+\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}=1-\frac{(n+1)!}{(x+1)...(x+n)}+\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}\)
Réduis au même dénominateur et ajoute les deux fractions, il doit te rester juste la bonne réponse.
Pour continuer pense que si \(x>1\) alors \((x+1)(x+2)...(x+n)>2\times{3}\times{4}...\times{n+1}=(n+1)!\), ce qui te sert à prouver que \((n+1)U_n\) est borné.
Bon courage et bonnes fêtes de fin d'année
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Marion
Re: Convergence
Se que j'ai marqué avant est juste ?
Car je ne vois pas ou passe le 1-(n+1)Un sinon ...
Car je ne vois pas ou passe le 1-(n+1)Un sinon ...
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Marion
Re: Convergence
Ah si pardon oublier se que j'ai dis !
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Marion
Re: Convergence
J'ai essayer de faire comme vous avez dis pour montrer qu'elle est bornée mais je ne vois pas comment arriver au résultat ...
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SoS-Math(9)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Convergence
Bonjour Marion,
Avec l'indication donnée ((x+1)...(x+n) < (n+1)!) tu peux en déduire que Un < ... (à toi de trouver !)
ensuite Il est assez simple de prouver que 0 < Un ....
Tu as alors ton encadrement de Un. Ensuite tu peux en déduire un encadrement de Vn, sachant que (x-1)Vn=1-(n+1)Un.
Bon courage,
SoSmath.
Avec l'indication donnée ((x+1)...(x+n) < (n+1)!) tu peux en déduire que Un < ... (à toi de trouver !)
ensuite Il est assez simple de prouver que 0 < Un ....
Tu as alors ton encadrement de Un. Ensuite tu peux en déduire un encadrement de Vn, sachant que (x-1)Vn=1-(n+1)Un.
Bon courage,
SoSmath.
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Marion
Re: Convergence
Bonjour et bonne année !
Eh bien j'ai réfléchie je pense que Un<1 et >0 car x>0 et que n appartient a N*
Vn<(1-(n+1)Un)/(x-1)
Et Vn>0 ensuite que dois-je faire ?
Eh bien j'ai réfléchie je pense que Un<1 et >0 car x>0 et que n appartient a N*
Vn<(1-(n+1)Un)/(x-1)
Et Vn>0 ensuite que dois-je faire ?
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Marion
Re: Convergence
Bonjour et bonne année !
Eh bien j'ai réfléchie je pense que Un<1 et >0 car x>0 et que n appartient a N*
Vn<(1-(n+1)Un)/(x-1)
Et Vn>0 ensuite que dois-je faire ?
Eh bien j'ai réfléchie je pense que Un<1 et >0 car x>0 et que n appartient a N*
Vn<(1-(n+1)Un)/(x-1)
Et Vn>0 ensuite que dois-je faire ?
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SoS-Math(4)
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Re: Convergence
Bonjour,
on a pour x>1 : (x+1)(x+2).....(x+n)>(n+1)! donc en prenant l'inverse ( fct inverse décroissante sur IR+) on obtient : 1/(x+1)(x+2)...(x+n) < 1/(n+1)!
Pour obtenir Un on multiplie les 2 cotés par n!, et on obtient : Un<n!/(n+1)! donc Un<1/(n+1)
On a bien sur Un>0 donc l'encadrement : pour tout entier n , 0< Un <1/(n+1)
Grace à cet encadrement , essaie d'encadrer Vn. Tu dois arriver à conclure que 0< Vn<1
Ensuite tu montreras que la suite V est croissante, et tu concluras.
sosmaths
on a pour x>1 : (x+1)(x+2).....(x+n)>(n+1)! donc en prenant l'inverse ( fct inverse décroissante sur IR+) on obtient : 1/(x+1)(x+2)...(x+n) < 1/(n+1)!
Pour obtenir Un on multiplie les 2 cotés par n!, et on obtient : Un<n!/(n+1)! donc Un<1/(n+1)
On a bien sur Un>0 donc l'encadrement : pour tout entier n , 0< Un <1/(n+1)
Grace à cet encadrement , essaie d'encadrer Vn. Tu dois arriver à conclure que 0< Vn<1
Ensuite tu montreras que la suite V est croissante, et tu concluras.
sosmaths
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Marion
Re: Convergence
Merci,j'arrive a montrer que Vn croissante et >0 mais pas >1 ...
Pouvez vous me renseignez ...
Pouvez vous me renseignez ...
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Re: Convergence
c'est normal, Vn<1 et non pas Vn>1.
Utilise cette formule pour le faire.
je multiplie les 2 côtés par n+1, on obtient :
(n+1)Un <1
je multiplie les 2 cotés par -1, on obtient :
..........à toi de finir
sosmaths
Utilise cette formule pour le faire.
je commence : Un< 1/(n+1)Marion a écrit :(x-1)Vn=1-(n+1)Un
je multiplie les 2 côtés par n+1, on obtient :
(n+1)Un <1
je multiplie les 2 cotés par -1, on obtient :
..........à toi de finir
sosmaths
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Marion
Re: Convergence
Ok je trouve -(n+1)Un>-1 or si je rajoute 1 pour avoir (x-1)Vn je trouve 1-(n+1)Un>0 ...
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SoS-Math(4)
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Re: Convergence
oui , c'est ça, donc (x-1)Vn>0
Mais on sait aussi que : (n+1)Un >0 donc -(n+1)Un<0 donc 1-(n+1)Un<1 donc (x-1)Vn<1
Finalement 0<(x-1)Vn<1 donc en divisant par x-1 qui est positif, on obtient :0<Vn<1/(x-1)
Donc Vn est majorée par 1/x-1
Donc Vn converge puisque Vn est croissante.
sosmaths
Mais on sait aussi que : (n+1)Un >0 donc -(n+1)Un<0 donc 1-(n+1)Un<1 donc (x-1)Vn<1
Finalement 0<(x-1)Vn<1 donc en divisant par x-1 qui est positif, on obtient :0<Vn<1/(x-1)
Donc Vn est majorée par 1/x-1
Donc Vn converge puisque Vn est croissante.
sosmaths