Bonjour à tous !
Je dois calculer ∫x^kdx pour tout quand dans N l'intégrale est de 0 a 1 or je trouve = a 1/(k+1) et sa me gène vu que je suis en fonction de k ...
Pouvez-vous me sortir de la svp ?
Suites
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SoS-Math(11)
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Re: Suites
Bonsoir Pierre,
C'est normal de trouver une formule dans laquelle il y a k puisque l'intégrale doit être calculée pour tout k donc on doit bien y avoir une formule où k intervient.
Ici si k = 1 l'intégrale vaut 1/2.
Le problème va se poser pour k = -1, pour cette valeur l'intégrale n'est plus définie.
Bonne continuation
C'est normal de trouver une formule dans laquelle il y a k puisque l'intégrale doit être calculée pour tout k donc on doit bien y avoir une formule où k intervient.
Ici si k = 1 l'intégrale vaut 1/2.
Le problème va se poser pour k = -1, pour cette valeur l'intégrale n'est plus définie.
Bonne continuation
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Pierre
Re: Suites
Bonjour !
Sur -1 bien évidement elle n'est plus définie ...
Mais ne dois-je pas calculer d'autre valeur ?
De cette question je dois déduire : limn->+L'inf∫(x^n+1)/(x+1)dx sans calculer l'intégrale ... et c'est assez flou ...
Sur -1 bien évidement elle n'est plus définie ...
Mais ne dois-je pas calculer d'autre valeur ?
De cette question je dois déduire : limn->+L'inf∫(x^n+1)/(x+1)dx sans calculer l'intégrale ... et c'est assez flou ...
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SoS-Math(11)
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Re: Suites
Bonjour Pierre,
Appelle \(I_{n+1}\) l'intégrale \(\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{x+1}dx\), tu as donc \(I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{x+1}dx\).
Remarque que :\(\frac{x^{n+1}}{x+1}=x^n(\frac{x}{x+1})=x^n(1-\frac{1}{x+1})\).
Déduis-en une relation entre\(I_{n+1}\) et \(I_n\) en appliquant le résultat de la première question.
Applique cette même relation pour passer de \(I_n\) à \(I_{n-1}\) et ainsi de suite jusqu'à \(I_0\).
Tu dois obtenir \(I_{n+1}=Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1)-I_0\) ou \(I_{n+1}=Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....-1)+I_0\) suivant la parité de n.
Calcule alors I_0 puis cherche la limite de l'expression \(Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1)\) et conclus
Bon courage, les calculs ne sont pas évidents, tu peux utiliser un logiciel de calcul formel gratuit qui s'appelle Xcas et qui t'aidera dans tes calculs.
Appelle \(I_{n+1}\) l'intégrale \(\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{x+1}dx\), tu as donc \(I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{x+1}dx\).
Remarque que :\(\frac{x^{n+1}}{x+1}=x^n(\frac{x}{x+1})=x^n(1-\frac{1}{x+1})\).
Déduis-en une relation entre\(I_{n+1}\) et \(I_n\) en appliquant le résultat de la première question.
Applique cette même relation pour passer de \(I_n\) à \(I_{n-1}\) et ainsi de suite jusqu'à \(I_0\).
Tu dois obtenir \(I_{n+1}=Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1)-I_0\) ou \(I_{n+1}=Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....-1)+I_0\) suivant la parité de n.
Calcule alors I_0 puis cherche la limite de l'expression \(Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1)\) et conclus
Bon courage, les calculs ne sont pas évidents, tu peux utiliser un logiciel de calcul formel gratuit qui s'appelle Xcas et qui t'aidera dans tes calculs.
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Pierre
Re: Suites
Je trouve In+1 = 1/(1+n) - In êtes-vous d'accord ?
Je n'arrive pas a développer jusqu'a I0 ...
Je n'arrive pas a développer jusqu'a I0 ...
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SoS-Math(11)
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Re: Suites
Tout à fait,
Donc \(I_{n+1}=\frac{1}{n+1}-I_n\), au rang inférieur cela va donner \(I_{n}=\frac{1}{n}-I_{n-1}\)et on a alors
\(I_{n+1}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+I_{n-1}\).
Continue de même pour arriver à \(I_0\).
Bonne continuation
Donc \(I_{n+1}=\frac{1}{n+1}-I_n\), au rang inférieur cela va donner \(I_{n}=\frac{1}{n}-I_{n-1}\)et on a alors
\(I_{n+1}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+I_{n-1}\).
Continue de même pour arriver à \(I_0\).
Bonne continuation
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Pierre
Re: Suites
En étant arrivé a Io je calcule celui-ci je fais l'integrale de 0 a 1 de x/(x+1) je trouve la valeur ...
En calculant la limite de In+1 = 1 ou -1 suivant la parité
J'additonne avec la valeur trouvé avec l'intégrale et je trouve la valeur ?
En calculant la limite de In+1 = 1 ou -1 suivant la parité
J'additonne avec la valeur trouvé avec l'intégrale et je trouve la valeur ?
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SoS-Math(11)
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Re: Suites
Bonsoir,
Il faut bien calculer \(I_0\) la primitive de \(\frac{1}{x+1}\) est \(ln(x+1)\).
Ensuite Il y a une somme :\(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1\) dont il faut trouver la limite.
Puis retrancher la imite de la somme et \(I_0\) ou l'opposé ce qui donne le même résultat.
Bonne continuation
Il faut bien calculer \(I_0\) la primitive de \(\frac{1}{x+1}\) est \(ln(x+1)\).
Ensuite Il y a une somme :\(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1\) dont il faut trouver la limite.
Puis retrancher la imite de la somme et \(I_0\) ou l'opposé ce qui donne le même résultat.
Bonne continuation
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Pierre
Re: Suites
La valeur de l'intégrale est Ln(2) et la limite de la somme est 0 donc la valeur limite totale est ln2 ???
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SoS-Math(11)
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Re: Suites
Bonjour,
OK pour \(I_0\).
Pour la limite de la somme ce n'est pas 0 ; c'est ln(2) ; mais pour l'explication de la limite de cette somme cela ne me semble pas être du programme de terminale. Déduis-en la limite globale pour les deux cas.
Bonne fin d'exercice.
OK pour \(I_0\).
Pour la limite de la somme ce n'est pas 0 ; c'est ln(2) ; mais pour l'explication de la limite de cette somme cela ne me semble pas être du programme de terminale. Déduis-en la limite globale pour les deux cas.
Bonne fin d'exercice.
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Pierre
Re: Suites
Vous etes sur que la primitive de Io est 1/(x+1) car pour Io on a le quotient dans l'intégrale est x^1/(x+1)
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Pierre
Re: Suites
Pouvez-vous m'expliquer comment on trouve Ln(2) pour la somme s'il vous plais car je ne comprends tout ...
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SoS-Math(11)
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Re: Suites
Re bonjour
Pour \(I_0\) j'ai l'intégrale de 1/(x+1) pas de x/(x+1).
Pour la somme c'est un développement limité d'ordre n qui donne une somme de Taylor-Young ou de Mac-Laurin, j'ai regardé mais ce n'est pas du programme de terminale et le n'ai pas d'autre explications.
Bonne fin d'exercice
Pour \(I_0\) j'ai l'intégrale de 1/(x+1) pas de x/(x+1).
Pour la somme c'est un développement limité d'ordre n qui donne une somme de Taylor-Young ou de Mac-Laurin, j'ai regardé mais ce n'est pas du programme de terminale et le n'ai pas d'autre explications.
Bonne fin d'exercice