Bonjour j'ai un exercice où je dois calculer la limite de la fonction x^3 - x^2 + 3 / x^2 - 1 en -1 et en 1
En -1
x^3 - x^2 + 3 -------------------------> 1
Et x^2 - 1 -----------------------> 0
Du coup j'étudie le signe de x^2 - 1 et je trouve :
x²-1 > 0.
(x-1)(x+1) > 0
tableau de signes
x...-l'inf..............-1...........+1.............+l'inf
(x-1)...........-................-.....0.....+..............
(x+1)..........-......0.......+............+..............
(x-1)(x+1)..+.....0........-.....0.....+..............
Du coup je doit écrire :
x²-1 > 0 sur ] - l'inf ; -1 [ U ] 1 ; +l'inf [
x²-1 < 0 sur ] -1 ; 1 [
Mais je ne sait plus quoi faire à présent !
Pouvez-vous vous m'aider !
limite d'une fonction (exercice)
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour,
ta fonction est donnée par \(f(x)=\frac{x^3-x^2+3}{x^2-1}\), c'est cela ?
Ton dénominateur s'annule en \(x=1\) et en \(x=-1\), c'est ce que tu as trouvé. Tu as donc deux valeurs interdites \(-1\) et \(1\).
Il faut donc étudier la limite à gauche de -1 puis à droite, et faire la même chose pour 1.
Par exemple : pour la limite à gauche de -1
Ton dénominateur \(x^2-1\) tend vers 0 en étant positif : c'est ce qu'on voit sur ton tableau de signes (on tend par valeurs inférieures à \(-1\), on est à gauche de \(-1\), il y a bien un signe + dans ton tableau).
Ton numérateur tend vers \((-1)^3-(-1)^2+3=1\) donc ton quotient est formé d'un numérateur positif qui tend vers 1 et d'un dénominateur positif qui tend vers 0 donc la limite est \(+\infty\) :
on a \(\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^3-x^2+3}{x^2-1}=+\infty\).
Il faut faire la même étude pour les trois autres limites.
Bonne continuation
ta fonction est donnée par \(f(x)=\frac{x^3-x^2+3}{x^2-1}\), c'est cela ?
Ton dénominateur s'annule en \(x=1\) et en \(x=-1\), c'est ce que tu as trouvé. Tu as donc deux valeurs interdites \(-1\) et \(1\).
Il faut donc étudier la limite à gauche de -1 puis à droite, et faire la même chose pour 1.
Par exemple : pour la limite à gauche de -1
Ton dénominateur \(x^2-1\) tend vers 0 en étant positif : c'est ce qu'on voit sur ton tableau de signes (on tend par valeurs inférieures à \(-1\), on est à gauche de \(-1\), il y a bien un signe + dans ton tableau).
Ton numérateur tend vers \((-1)^3-(-1)^2+3=1\) donc ton quotient est formé d'un numérateur positif qui tend vers 1 et d'un dénominateur positif qui tend vers 0 donc la limite est \(+\infty\) :
on a \(\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^3-x^2+3}{x^2-1}=+\infty\).
Il faut faire la même étude pour les trois autres limites.
Bonne continuation
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zazïe
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour et un grand merci à vous pour cette réponse claire et détaillée...
Pour la suite je trouve donc :
lim(x→-1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1= + ∞
lim(x→-1+ ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= - ∞
lim(x→1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = - ∞
lim(x→1+) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1 = +∞
Vous confirmez ?
Pour la suite je trouve donc :
lim(x→-1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1= + ∞
lim(x→-1+ ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= - ∞
lim(x→1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = - ∞
lim(x→1+) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1 = +∞
Vous confirmez ?
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SoS-Math(31)
- Messages : 1360
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: limite d'une fonction (exercice)
Oui, Zazie, tu as trouvé les bons résultats.
-
zazïe
Re: limite d'une fonction (exercice)
Je vous remercie pour votre aide !!
À bientôt !
À bientôt !
-
SoS-Math(31)
- Messages : 1360
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: limite d'une fonction (exercice)
A bientôt Zazie.
-
Zazïe
Re: limite d'une fonction (exercice)
Re.Bonjour !
La question suivante de mon exercice est :
- Interpréter graphiquement ces limites.
Du coup j'ai dis que :
Comme lim(x→1) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = + - ∞ et que lim(x→-1 ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= + - ∞ alors les droites d'équations x = - 1 et x = 1 sont deux asymptotes verticales à la courbe (Cf) ---> (Cf) étant la courbe représentative de la fonction f.
Cependant, graphiquement remarque que (Cf) admet également une asymptote oblique !
Dois-je alors l'étudier et déterminer son équation à l'aide de la forme : f(x) = ax + b + quotient ?
Où comme la question me demande d'interpréter CES limites, je m'arrête à ce que j'ai fait ?
Merci...
La question suivante de mon exercice est :
- Interpréter graphiquement ces limites.
Du coup j'ai dis que :
Comme lim(x→1) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = + - ∞ et que lim(x→-1 ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= + - ∞ alors les droites d'équations x = - 1 et x = 1 sont deux asymptotes verticales à la courbe (Cf) ---> (Cf) étant la courbe représentative de la fonction f.
Cependant, graphiquement remarque que (Cf) admet également une asymptote oblique !
Dois-je alors l'étudier et déterminer son équation à l'aide de la forme : f(x) = ax + b + quotient ?
Où comme la question me demande d'interpréter CES limites, je m'arrête à ce que j'ai fait ?
Merci...
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonsoir,
oui c'est cela.
Pour l'asymptote oblique, il te reste à remarquer que \(\dfrac{x^3-x^2+1}{x^2-1}=\dfrac{(x-1)(x^2-1)+x+2}{(x^2-1)}=...\) et je te laisse séparer ta fraction en deux.
Bon courage
oui c'est cela.
Pour l'asymptote oblique, il te reste à remarquer que \(\dfrac{x^3-x^2+1}{x^2-1}=\dfrac{(x-1)(x^2-1)+x+2}{(x^2-1)}=...\) et je te laisse séparer ta fraction en deux.
Bon courage
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zazïe
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour...
Alors pour le coup je sais pas comment séparé cette fraction en 2 ......:(
Cependant je crois avoir trouvé par tâtonnements l'équation de l'asymptote oblique : y = x -1 C'est bien ça non ??
Alors pour le coup je sais pas comment séparé cette fraction en 2 ......:(
Cependant je crois avoir trouvé par tâtonnements l'équation de l'asymptote oblique : y = x -1 C'est bien ça non ??
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour Zazïe,
Pour couper en deux une fraction .... tu utilise la règle \(\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c}+\frac{b}{c}\) ....
Ton intuition est bonne et tu vas le prouver en "coupant" en deux puis en simplifiant ta fraction.
SoSMath.
Pour couper en deux une fraction .... tu utilise la règle \(\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c}+\frac{b}{c}\) ....
Ton intuition est bonne et tu vas le prouver en "coupant" en deux puis en simplifiant ta fraction.
SoSMath.
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zazïe
Re: limite d'une fonction (exercice)
Alors si j'essaye de couper :
X-1 + (x +2)/(x^2-1)
C ça ?
Mais je pas trop compris pourquoi on fait ça ?
X-1 + (x +2)/(x^2-1)
C ça ?
Mais je pas trop compris pourquoi on fait ça ?
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: limite d'une fonction (exercice)
Oui Zazïe, !
On fait cela pour montrer que l'équation de l'asymptote oblique est : y = x -1 !
Tu obtiens f(x) = X-1 + (x +2)/(x^2-1) soit f(x) - (X-1) = (x +2)/(x^2-1)
il te reste à montrer que \(\lim_{x \to +\infty}\)f(x) - (X-1) = 0.
Et d'après ton cours la courbe admet une asymptote oblique d'équation y=x-1.
SoSMath.
On fait cela pour montrer que l'équation de l'asymptote oblique est : y = x -1 !
Tu obtiens f(x) = X-1 + (x +2)/(x^2-1) soit f(x) - (X-1) = (x +2)/(x^2-1)
il te reste à montrer que \(\lim_{x \to +\infty}\)f(x) - (X-1) = 0.
Et d'après ton cours la courbe admet une asymptote oblique d'équation y=x-1.
SoSMath.
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zazïe
Re: limite d'une fonction (exercice)
Ok super j'ai tout compris !!
On me demande par la suite :
- Quelle remarque peut-on faire sur cette courbes (Cf) quand x tend vers +l'inf et quand x tend vers -l'inf ?
Alors j'ai répondu : La courbe (Cf) est croissante lorsque x tend vers +l'inf et décroissante lorsque x tend vers -l'inf !
Est-ce correct ou c'est maladroit ?
On me demande par la suite :
- Quelle remarque peut-on faire sur cette courbes (Cf) quand x tend vers +l'inf et quand x tend vers -l'inf ?
Alors j'ai répondu : La courbe (Cf) est croissante lorsque x tend vers +l'inf et décroissante lorsque x tend vers -l'inf !
Est-ce correct ou c'est maladroit ?
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: limite d'une fonction (exercice)
Zazie,
on ne te demande pas les variations ... on veut juste que tu dises que la courbe se rapproche de la droite d'équation y = x-1.
SoSMath.
on ne te demande pas les variations ... on veut juste que tu dises que la courbe se rapproche de la droite d'équation y = x-1.
SoSMath.
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zazïe
Re: limite d'une fonction (exercice)
Ok merci beaucoup pour votre aide !