limite d'une fonction (exercice)
limite d'une fonction (exercice)
Bonjour j'ai un exercice où je dois calculer la limite de la fonction x^3 - x^2 + 3 / x^2 - 1 en -1 et en 1
En -1
x^3 - x^2 + 3 -------------------------> 1
Et x^2 - 1 -----------------------> 0
Du coup j'étudie le signe de x^2 - 1 et je trouve :
x²-1 > 0.
(x-1)(x+1) > 0
tableau de signes
x...-l'inf..............-1...........+1.............+l'inf
(x-1)...........-................-.....0.....+..............
(x+1)..........-......0.......+............+..............
(x-1)(x+1)..+.....0........-.....0.....+..............
Du coup je doit écrire :
x²-1 > 0 sur ] - l'inf ; -1 [ U ] 1 ; +l'inf [
x²-1 < 0 sur ] -1 ; 1 [
Mais je ne sait plus quoi faire à présent !
Pouvez-vous vous m'aider !
En -1
x^3 - x^2 + 3 -------------------------> 1
Et x^2 - 1 -----------------------> 0
Du coup j'étudie le signe de x^2 - 1 et je trouve :
x²-1 > 0.
(x-1)(x+1) > 0
tableau de signes
x...-l'inf..............-1...........+1.............+l'inf
(x-1)...........-................-.....0.....+..............
(x+1)..........-......0.......+............+..............
(x-1)(x+1)..+.....0........-.....0.....+..............
Du coup je doit écrire :
x²-1 > 0 sur ] - l'inf ; -1 [ U ] 1 ; +l'inf [
x²-1 < 0 sur ] -1 ; 1 [
Mais je ne sait plus quoi faire à présent !
Pouvez-vous vous m'aider !
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour,
ta fonction est donnée par f(x)=x3−x2+3x2−1, c'est cela ?
Ton dénominateur s'annule en x=1 et en x=−1, c'est ce que tu as trouvé. Tu as donc deux valeurs interdites −1 et 1.
Il faut donc étudier la limite à gauche de -1 puis à droite, et faire la même chose pour 1.
Par exemple : pour la limite à gauche de -1
Ton dénominateur x2−1 tend vers 0 en étant positif : c'est ce qu'on voit sur ton tableau de signes (on tend par valeurs inférieures à −1, on est à gauche de −1, il y a bien un signe + dans ton tableau).
Ton numérateur tend vers (−1)3−(−1)2+3=1 donc ton quotient est formé d'un numérateur positif qui tend vers 1 et d'un dénominateur positif qui tend vers 0 donc la limite est +∞ :
on a limx→1−x3−x2+3x2−1=+∞.
Il faut faire la même étude pour les trois autres limites.
Bonne continuation
ta fonction est donnée par f(x)=x3−x2+3x2−1, c'est cela ?
Ton dénominateur s'annule en x=1 et en x=−1, c'est ce que tu as trouvé. Tu as donc deux valeurs interdites −1 et 1.
Il faut donc étudier la limite à gauche de -1 puis à droite, et faire la même chose pour 1.
Par exemple : pour la limite à gauche de -1
Ton dénominateur x2−1 tend vers 0 en étant positif : c'est ce qu'on voit sur ton tableau de signes (on tend par valeurs inférieures à −1, on est à gauche de −1, il y a bien un signe + dans ton tableau).
Ton numérateur tend vers (−1)3−(−1)2+3=1 donc ton quotient est formé d'un numérateur positif qui tend vers 1 et d'un dénominateur positif qui tend vers 0 donc la limite est +∞ :
on a limx→1−x3−x2+3x2−1=+∞.
Il faut faire la même étude pour les trois autres limites.
Bonne continuation
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour et un grand merci à vous pour cette réponse claire et détaillée...
Pour la suite je trouve donc :
lim(x→-1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1= + ∞
lim(x→-1+ ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= - ∞
lim(x→1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = - ∞
lim(x→1+) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1 = +∞
Vous confirmez ?
Pour la suite je trouve donc :
lim(x→-1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1= + ∞
lim(x→-1+ ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= - ∞
lim(x→1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = - ∞
lim(x→1+) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1 = +∞
Vous confirmez ?
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- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: limite d'une fonction (exercice)
Oui, Zazie, tu as trouvé les bons résultats.
Re: limite d'une fonction (exercice)
Je vous remercie pour votre aide !!
À bientôt !
À bientôt !
-
- Messages : 1360
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: limite d'une fonction (exercice)
A bientôt Zazie.
Re: limite d'une fonction (exercice)
Re.Bonjour !
La question suivante de mon exercice est :
- Interpréter graphiquement ces limites.
Du coup j'ai dis que :
Comme lim(x→1) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = + - ∞ et que lim(x→-1 ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= + - ∞ alors les droites d'équations x = - 1 et x = 1 sont deux asymptotes verticales à la courbe (Cf) ---> (Cf) étant la courbe représentative de la fonction f.
Cependant, graphiquement remarque que (Cf) admet également une asymptote oblique !
Dois-je alors l'étudier et déterminer son équation à l'aide de la forme : f(x) = ax + b + quotient ?
Où comme la question me demande d'interpréter CES limites, je m'arrête à ce que j'ai fait ?
Merci...
La question suivante de mon exercice est :
- Interpréter graphiquement ces limites.
Du coup j'ai dis que :
Comme lim(x→1) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = + - ∞ et que lim(x→-1 ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= + - ∞ alors les droites d'équations x = - 1 et x = 1 sont deux asymptotes verticales à la courbe (Cf) ---> (Cf) étant la courbe représentative de la fonction f.
Cependant, graphiquement remarque que (Cf) admet également une asymptote oblique !
Dois-je alors l'étudier et déterminer son équation à l'aide de la forme : f(x) = ax + b + quotient ?
Où comme la question me demande d'interpréter CES limites, je m'arrête à ce que j'ai fait ?
Merci...
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- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonsoir,
oui c'est cela.
Pour l'asymptote oblique, il te reste à remarquer que x3−x2+1x2−1=(x−1)(x2−1)+x+2(x2−1)=... et je te laisse séparer ta fraction en deux.
Bon courage
oui c'est cela.
Pour l'asymptote oblique, il te reste à remarquer que x3−x2+1x2−1=(x−1)(x2−1)+x+2(x2−1)=... et je te laisse séparer ta fraction en deux.
Bon courage
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour...
Alors pour le coup je sais pas comment séparé cette fraction en 2 ......:(
Cependant je crois avoir trouvé par tâtonnements l'équation de l'asymptote oblique : y = x -1 C'est bien ça non ??
Alors pour le coup je sais pas comment séparé cette fraction en 2 ......:(
Cependant je crois avoir trouvé par tâtonnements l'équation de l'asymptote oblique : y = x -1 C'est bien ça non ??
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- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: limite d'une fonction (exercice)
Bonjour Zazïe,
Pour couper en deux une fraction .... tu utilise la règle a+bc=ac+bc ....
Ton intuition est bonne et tu vas le prouver en "coupant" en deux puis en simplifiant ta fraction.
SoSMath.
Pour couper en deux une fraction .... tu utilise la règle a+bc=ac+bc ....
Ton intuition est bonne et tu vas le prouver en "coupant" en deux puis en simplifiant ta fraction.
SoSMath.
Re: limite d'une fonction (exercice)
Alors si j'essaye de couper :
X-1 + (x +2)/(x^2-1)
C ça ?
Mais je pas trop compris pourquoi on fait ça ?
X-1 + (x +2)/(x^2-1)
C ça ?
Mais je pas trop compris pourquoi on fait ça ?
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- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: limite d'une fonction (exercice)
Oui Zazïe, !
On fait cela pour montrer que l'équation de l'asymptote oblique est : y = x -1 !
Tu obtiens f(x) = X-1 + (x +2)/(x^2-1) soit f(x) - (X-1) = (x +2)/(x^2-1)
il te reste à montrer que limx→+∞f(x) - (X-1) = 0.
Et d'après ton cours la courbe admet une asymptote oblique d'équation y=x-1.
SoSMath.
On fait cela pour montrer que l'équation de l'asymptote oblique est : y = x -1 !
Tu obtiens f(x) = X-1 + (x +2)/(x^2-1) soit f(x) - (X-1) = (x +2)/(x^2-1)
il te reste à montrer que limx→+∞f(x) - (X-1) = 0.
Et d'après ton cours la courbe admet une asymptote oblique d'équation y=x-1.
SoSMath.
Re: limite d'une fonction (exercice)
Ok super j'ai tout compris !!
On me demande par la suite :
- Quelle remarque peut-on faire sur cette courbes (Cf) quand x tend vers +l'inf et quand x tend vers -l'inf ?
Alors j'ai répondu : La courbe (Cf) est croissante lorsque x tend vers +l'inf et décroissante lorsque x tend vers -l'inf !
Est-ce correct ou c'est maladroit ?
On me demande par la suite :
- Quelle remarque peut-on faire sur cette courbes (Cf) quand x tend vers +l'inf et quand x tend vers -l'inf ?
Alors j'ai répondu : La courbe (Cf) est croissante lorsque x tend vers +l'inf et décroissante lorsque x tend vers -l'inf !
Est-ce correct ou c'est maladroit ?
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- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: limite d'une fonction (exercice)
Zazie,
on ne te demande pas les variations ... on veut juste que tu dises que la courbe se rapproche de la droite d'équation y = x-1.
SoSMath.
on ne te demande pas les variations ... on veut juste que tu dises que la courbe se rapproche de la droite d'équation y = x-1.
SoSMath.
Re: limite d'une fonction (exercice)
Ok merci beaucoup pour votre aide !