SOS-MATH

Bonjour à tous,

J'ai les exercices à faire et j'aimerai savoir si mes réponses pour l'exercice 1 sont complètes car je ne suis pas sûr de moi....

1) a. On procède par disjonction des cas :
- si a = 2k alors a² = 4k²
- si a = 2k+1 alors a² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k²+k+1)
a et a² sont de même de parité donc si a² est impair, a l'est aussi.


b. On sait que a est impair et a = 2k+1
Or, a²-1 = (2k+1)-1
= 4k²+4k+1-1
= 4k²+4k
= 4(k²+k)
Donc a²-1 est un multiple de 4.

On sait que a²-1 = 2b²
Or, a²-1 = 4(k²+k) = 2b²
Donc b est pair.


c. a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD (a,b) = 1
Soit d un diviseur positif commun à a et b. Si d|a² et d|2b² alors d|a²-2b² <=> d|1
On en déduis PGCD (a,b) = 1, donc a et b sont premiers entre eux.


2) a. Une solution évidente de l'équation (1) a²-2b² = 1 est le couple (1;0) avec a = 1 et b = 0 car 1²-2*0 = 1-0 = 1


b. Il faut remplacer a par 3a+4b et b par 2a+3b dans l'équation (1) et vérifier que l'égalité vaut 1.
a²-2b² = (3a+4b)²-2*(2a+3b) = 9a²+24ab+16b²-2*(4a²+12ab+9b²) = 9a²+24ab+16b²-8a²-24ab-18b² = a²-2b² (or a²-2b² = 1) = 1
Donc le couple ( 3a+4b ; 2a+3b) est solution de l'équation (1).


c. (1;0) est un couple de solution (la solution évidente) donc avec la formule précédente, on en trouve un autre : (3*1+4*0 ; 2*1+3*0) = (3;2) est un couple de solution.
(3;2) est un couple de solution donc avec la formule précédente, on en trouve un autre : (3*3+4*2 ; 2*3+3*2) = (17;12) est un couple de solution.
(17;12) est un couple de solution donc avec la formule précédente, on en trouve un autre : (3*17+4*12 ; 2*17+3*12) = (99;70) est un couple de solution.

Bonjour,
Il y a un erreur dans ce que tu dis :

4k² + 4k + 1 = 4(k²+k+1)

: tu ne peux pas factoriser par 4 ici.
Un nombre impair est un nombre qui peut s'écrire n=2k+1, avec k entier.
Or d'après l'équation, \(a^2=2b^2+1=2k+1\) (avec \(k=b^2\in\mathbb{Z}\)) donc \(a^2\) est impair donc \(a\) est impair.
En effet, si a était pair, alors \(a=2k\) donnerait \(a^2=4k^2=2\times 2k^2\) donc \(a^2\) serait pair alors qu'on sait que \(a^2\) est impair.
Donc \(a\) est impair.
Pour la b, c'est correct.
Pour la c, c'est bon, on pouvait aussi utiliser le théorème de Bezout car \(a^2-2b^2=1\) soit \(a\times a+b\times (-2b)=1\), de la forme \(au+bv=1\).
Le reste me semble correct.
Bonne continuation

Ah oui pardon, je me suis trompée, c'est une étourderie.

Merci de m'avoir corrigé en tout cas.

Bonjour à tous,

J'ai fais l'exercice 2 mais j'aimerai savoir si ma réponse à la question 3 est juste car je ne sais pas si elle correspond à la question...

3) On sait que n²-3n+6 = (n-1)(n-2)+4

Or, en divisant chaque membre par (n-1) on trouve (n²-3n+6)/(n-1) = (n-2) + 4/(n-2)
Ici, les diviseurs de 4 peuvent être -4,-2,-1,1,2,4.

On procède donc par disjonction des cas :
- si n-2=-4 alors n = -2
- si n-2=-2 alors n=0
- si n-2 =-1 alors n=1
- si n-2 =1 alors n=3
- si n-2=2 alors n=4
- si n-2=4 alors n=6

Donc, les valeurs possibles de n sont -2,0,1,3,4 et 6

Est-ce juste ?

Bonsoir,
attention, il faut travailler avec n-1, pas n-2.
Ta fraction est entière si A|B, donc si PGCD(A,B)=A, or PGCD(A,B)=PGCD(A,4) donc A=PGCD(A,4), ce qui signifie encore que A|4, soit n-1|4.
Reprends cela.

Bonjour à tous,

Ah oui en effet je me suis trompée.
Mais ma fraction est entière si B|A.

J'ai trouvé les valeurs de n avec ma calculatrice mais je ne sais pas comment l'expliquer, pouvez vous me mettre sur une piste svp.

Bonjour,
D'après ce que l'on vient de dire il faut que \(n-1|4\).
Il te suffit de dresser la liste des diviseurs de 4 et de faire comme tu as fait précédemment.
Bonne conclusion

Bonjour,

Mais ce que vous avez dit est pas juste puisque ma fraction est entière si B|A et vous vous avez dit que c'était A|B..... Je ne comprend pas.

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que vous avez dit car hier vous m'avez dit que c'était A|B alors que c'est B|A donc est-ce juste comme même ?

Tu as \(A=n-1\) et \(B=n^2-3n+6\) donc \(\frac{n^2-3n+6}{n-1}=\frac{B}{A}\) donc pour que cela fasse un nombre entier il faut bien que B soit divisible par A, ce qui signifie aussi que A|B.
Est-ce plus clair ?

Ah oui, j'ai enfin compris.
Merci d'avoir consacré du temps à mon exercice et de m'avoir éclaircie sur ce sujet.

A bientôt Ninon,

SoSMath.