terminale S = équation avec des nombres complexes

[Invité]

Bonjour

Je n'arrive pas à finir cet exercice.
En voici l'énoncé:
Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) tels que
1) z+z"barre"+zz"barre"=0
2) Re(z²)=0
3) Im(z²)=2

Pour le 1) j'ai trouvé que en considérant z=x+iy on a
x+iy+x-iy+(x+iy)(x-iy)=0
x+iy+x-iy+x²-ixy+ixy+y²=0
D'où x+x+x²+y²=0
et y-y-xy+xy=0
Mais à partir de la je n'arrive pas à en déduire x et y.
Pour le 2) et le 3) je ne vois pas du tout comment faire.

Pouvez-vous m'aider?
Merci

[SoS-Math(5)]

Bonjour
votre calcul est exact et on trouve bien :
\(x+x+x²+y²=0\)
En revanche, l'autre équation \(y-y-xy+xy=0\) n'a pas à être écrite puisque c'est une évidence.
Donc finalement il n'y a qu'une équation, la première, et elle s'écrit :
\(x²+2x+y²=0\)
Mais cela ne permet pas de trouver une solution \((x,y)\) unique. Il y a beaucoup de solutions \((x,y)\), et toutes ces solutions sont sur une figure géométrique connue qui s'appelle .....
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Voilà ce que j'ai trouvé
x²+2y+y²=0
x²+(y+1)²-2=0
x²+(y+1)²=(\(\sqrt{2})²\)
L'ensemble des points M(z) tels que z+z"barre"+zz"barre"=0 est le cercle C de centre (0;-1) et de rayon \(\sqrt{2}\)
Est-ce la bonne réponse?

Pouvez-vous m'aider à commencer le 2) et le 3)? Je ne vois pas du tout comment faire.

Merci

[SoS-Math(5)]

Bonjour

Votre équation de départ est fausse ; c'est :
\(x²+2x+y²=0\)
au lieu de \(x²+2y+y²=0\)
Mais la méthode est bonne, c'est l'essentiel.
Envoyez moi votre réponse définitive, pour être sûr que vous ne faites pas de fautes de calculs.
A bientôt.

[Invité]

Re-bonjour

En modifiant l'équation je trouve
x²+2x+y²=0
(x+1)²-1+y²=0
(x+1)²+y²=(\(\sqrt{1}\))²
L'ensemble des points M(z) tels que z+z"barre"+zz"barre"=0 est le cercle C de centre (-1;0) et de rayon égal à 1.

Merci beaucoup
Pouvez-vous m'indiquer la démarche pour le 2) et le 3) que je n'arrive pas à commencer?

[SoS-Math(5)]

Bonjour
pour la question 1 c'est tout à fait très bien. Rien à dire.
Pour la question 2, il faut procéder d'une manaière analogue :
Calculer \(z^2\) puis sa partie réelle.
Et on en déduit une équation en fonction de \(x\) et \(y\).
Il ne reste plus qu'à trouver tous les points \((x,y)\) du plan qui sont solutions de l'équation.
J'attends vos réponses.

PS : se souvenir que si deux nombres ont leur carrés égaux, alors ces deux nombres sont ... ou bien sont ... (il y a deux cas).

[Invité]

Bonjour

Pour le 2) j'ai trouvé
Re(z²)=0
z=x+iy
z²=x²-y²+2ixy
Re(z²)=x²-y²
x²-y²=0
y²=x²
y=x ou y=-x
L'ensemble des points M(z) tels que Re(z²)=0 est la droite d'équation y=x ou y=-x. Ces 2 droites sont confondues.

Pour le 3) j'ai trouvé
Im(z²)=2
z=x+iy+z²=x²-y²+2ixy
Im(z²)=2xy
2xy=2
xy=1
y=\(\frac{1}{x}\)
L'ensemble des points M(z) tels que Im(z²)=2 est la courbe d'équation y=\(\frac{1}{x}\)

Est-ce que ce sont les bons résultats?
Merci

[SoS-Math(5)]

Bravo les questions 2 et 3 sont exactes.

A une prochaine fois !