terminale S = équation avec des nombres complexes

[Invité]

Bonjour

Je n'arrive pas à finir cet exercice.
En voici l'énoncé:
Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) tels que
1) z+z"barre"+zz"barre"=0
2) Re(z²)=0
3) Im(z²)=2

Pour le 1) j'ai trouvé que en considérant z=x+iy on a
x+iy+x-iy+(x+iy)(x-iy)=0
x+iy+x-iy+x²-ixy+ixy+y²=0
D'où x+x+x²+y²=0
et y-y-xy+xy=0
Mais à partir de la je n'arrive pas à en déduire x et y.
Pour le 2) et le 3) je ne vois pas du tout comment faire.

Pouvez-vous m'aider?
Merci

[SoS-Math(5)]

Bonjour
votre calcul est exact et on trouve bien :
$x+x+x²+y²=0$
En revanche, l'autre équation $y-y-xy+xy=0$ n'a pas à être écrite puisque c'est une évidence.
Donc finalement il n'y a qu'une équation, la première, et elle s'écrit :
$x²+2x+y²=0$
Mais cela ne permet pas de trouver une solution $(x,y)$ unique. Il y a beaucoup de solutions $(x,y)$, et toutes ces solutions sont sur une figure géométrique connue qui s'appelle .....
Bon courage.

[Invité]

Bonjour

Voilà ce que j'ai trouvé
x²+2y+y²=0
x²+(y+1)²-2=0
x²+(y+1)²=($\sqrt{2})²$
L'ensemble des points M(z) tels que z+z"barre"+zz"barre"=0 est le cercle C de centre (0;-1) et de rayon $\sqrt{2}$
Est-ce la bonne réponse?

Pouvez-vous m'aider à commencer le 2) et le 3)? Je ne vois pas du tout comment faire.

Merci

[SoS-Math(5)]

Bonjour

Votre équation de départ est fausse ; c'est :
$x²+2x+y²=0$
au lieu de $x²+2y+y²=0$
Mais la méthode est bonne, c'est l'essentiel.
Envoyez moi votre réponse définitive, pour être sûr que vous ne faites pas de fautes de calculs.
A bientôt.

[Invité]

Re-bonjour

En modifiant l'équation je trouve
x²+2x+y²=0
(x+1)²-1+y²=0
(x+1)²+y²=($\sqrt{1}$)²
L'ensemble des points M(z) tels que z+z"barre"+zz"barre"=0 est le cercle C de centre (-1;0) et de rayon égal à 1.

Merci beaucoup
Pouvez-vous m'indiquer la démarche pour le 2) et le 3) que je n'arrive pas à commencer?

[SoS-Math(5)]

Bonjour
pour la question 1 c'est tout à fait très bien. Rien à dire.
Pour la question 2, il faut procéder d'une manaière analogue :
Calculer $z^2$ puis sa partie réelle.
Et on en déduit une équation en fonction de $x$ et $y$.
Il ne reste plus qu'à trouver tous les points $(x,y)$ du plan qui sont solutions de l'équation.
J'attends vos réponses.

PS : se souvenir que si deux nombres ont leur carrés égaux, alors ces deux nombres sont ... ou bien sont ... (il y a deux cas).

[Invité]

Bonjour

Pour le 2) j'ai trouvé
Re(z²)=0
z=x+iy
z²=x²-y²+2ixy
Re(z²)=x²-y²
x²-y²=0
y²=x²
y=x ou y=-x
L'ensemble des points M(z) tels que Re(z²)=0 est la droite d'équation y=x ou y=-x. Ces 2 droites sont confondues.

Pour le 3) j'ai trouvé
Im(z²)=2
z=x+iy+z²=x²-y²+2ixy
Im(z²)=2xy
2xy=2
xy=1
y=$\frac{1}{x}$
L'ensemble des points M(z) tels que Im(z²)=2 est la courbe d'équation y=$\frac{1}{x}$

Est-ce que ce sont les bons résultats?
Merci

[SoS-Math(5)]

Bravo les questions 2 et 3 sont exactes.

A une prochaine fois !