DM Dérivation de fonction

[Jen]

Bonjour,

J'ai un devoir à faire, assez simple et j'aimerai tout de même avoir un peu d'aide sur certains points.

1) soit g la fonction définie sur [ -6 ; +infini [ par g(x) = x^3 + 6x^2 + 1

a. Etudier les variations de la fonction g sur son ensemble de définition.

g(x) = x^3 + 6x^2 + 1 g'(x) = 3x^2 + 12x
On note que g'(x) = 0 soit :
3x^2 + 12x = 0

delta = 12^2 - 4*3*0
= 144
delta est positif alors : x1 = ( -12 -V144 ) / 6
= -4
x2 = ( -12 + V144 ) /6
= 0
On peut tracer le tableau de variation

x | -infini -4 0 +infini
g'(x) = 3x^2 + 12 x | + 0 - 0 +
|
g |(croissant) 33 (décroissant) 1 (croissant)


b. En déduire le signe de g(x)
g est croissante sur ] -infini ; -4 ] U [ 0 ; +infini [ et est décroissante sur [ -4 ; 0 ]

2) Soit f la fonction définie sur [ -6 ; -4 [ U ] -4 ; +infini [ par f(x) = (x^3 - 2) / (x+4)

a. calculer f'(x) et vérifier que f'(x) = ( 2g'(x) ) / ( x+4 )^2

u'v - uv' / v^2

f'(x) = 3x^2 * ( x+4 ) - ( x^3 - 2 ) * 1 / ( x+4 )^2

= 3x^3 + 12x^2 - x^3 + 2 / ( x+4 )^2

= 2x^3 + 12x^2 + 2 / ( x+4 )^2

Pour " vérifier que f'(x) = ( 2g'(x) ) / ( x+4 )^2 " je ne vois pas comment faire

b. A l'aide de la question 1, justifier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f sur son ensemble de définition.

Voilà c'est tout ce que j'ai pu trouver.
Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Jen,

Ton tableau de variation est à construire sur I = [-6;+inf[, il manque donc l'image de -6 par g dans ton tableau.
Observe alors ton tableau de variation, cela te donnera le minimum de ta fonction g sur l'intervalle I...et tu pourras en déduire le signe de g(x) sur I. Attention, dans ta réponse du 1)b), tu confonds variations (On utilise les termes "croissante, constante ou décroissante) avec signe (positif, nul, négatif).

Pour le 2)a), calcule f '(x) sachant que f est de la forme u/v. Compare ensuite ton résultat avec ( 2g(x) ) / ( x+4 )^2. Normalement, tu dois trouver la même fonction. Comme tu connais le signe de 2, de (x+4)^2 et celui de g(x) (et pas g'(x) au numérateur), tu pourras conclure sur le signe du quotient au 2)b).
Ceci te permettra de conclure sur les variations de f.

Bonne recherche
Sosmaths

[Jen]

l'antécédent de -6 est 1
b. Le minimum de g(x) sur l'intervalle I est 1 donc g(x) est positif.

2) a. Je n'ai pas utilisé la bonne formule ? ( u'v - uv' ) / v^2 ?

[SoS-Math(34)]

l'antécédent de -6 est 1 Ne confonds pas image et antécédent.
b. Le minimum de g(x) sur l'intervalle I est 1 donc g(x) est positif sur l'intervalle...
oui!

[SoS-Math(34)]

f '(x) = (2x^3 + 12x^2 + 2)/ ( x+4 )^2
Ton calcul de dérivée me semble correct, il reste juste à comparer avec 2g(x)/(x+4)² donné dans la question.
Si tu observes bien, il s'agit en fait de comparer les numérateurs car les deux expressions ont le même dénominateur.

[Jen]

Ah oui je n'ai pas fait attention.
L'image de -6 est 1

f'(x) a un numérateur supérieur à celui de g'(x)

[SoS-Math(25)]

Bonjour Jen,

Une erreur dans l'énoncé de la question 2a) :

a. calculer f'(x) et vérifier que f'(x) = ( 2g(x) ) / ( x+4 )^2

b. A l'aide de la question 1, justifier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f sur son ensemble de définition.

Tu sais aussi que :

[/color]
b. Le minimum de g(x) sur l'intervalle I est 1 donc g(x) est positif sur l'intervalle...
oui!

Tu peux donc en déduire le signe de f'(x) sur l'intervalle.

Bon courage !

[Jen]

Dans mon énoncé il est écrit 2) a. calculer f'(x) et vérifier que f'(x) = ( 2g'(x) ) / ( x+4 )^2
Donc g'(x) a bien un numérateur inférieur à f'(x) ?

[SoS-Math(34)]

Il faut lire très attentivement nos réponses car nous avons déjà répondu à cette remarque.
Mon collègue, et moi précédemment, t'avons indiqué qu'il y avait une erreur d'énoncé.
On a f '(x) = 2g(x)/(x+4)^2 et pas f '(x)=2g'(x)/(x+4)^2.
Tu as trouvé f'(x) = (2x^3 + 12x^2 + 2)/ ( x+4 )^2
Il te reste à prouver l'égalité des numérateurs c'est à dire que 2g(x) = 2x^3 + 12x^2 + 2... ce qui est très simple, par exemple en factorisant par 2 membre de droite ou en développant le membre de gauche.
Ensuite, le signe de g(x), te permettra d'en déduire celui de f'(x)...et donc les variations de f.

Bonne recherche

[Jen]

Bonjour,

Je n'ai pas très bien saisie mais je tente.

On sait que g(x) est positif sur [ -6 , +infini [ , f '(x) = (2x^3 + 12x^2 + 2)/ ( x+4 )^2 est donc positif sur l'intervalle, alors f est croissante

[SoS-Math(34)]

Bonjour,

Oui, il faut juste un peu expliquer pourquoi f'(x) est positif en s'appuyant sur le signe de g(x) et celui de 2/(x+4)^2 mais c'est cela.

Bonne continuation

[Jen]

f'(x) est positif car il a une valeur de 2g(x) soit une valeur supérieur à g(x)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Jen,

f '(x) est positif sur ]-6 ; +\(\infty\)[, car g(x) > 0 sur ]-6 ; +\(\infty\)[ et (x+4)² \(\geqslant\) 0 sur ]-6 ; +\(\infty\)[.

SoSMath.