encadrer sin x par 2 polynômes pour tout x positif

[Invité]

Bonsoir
Je suis bloquée à la question 2)

Voici l'exercice :

1) Soit f la fonction qui, à tout x positif ou nul, associe f(x)=sinx-x
a) Montrer que f est dérivable et que sa dérivée est toujours négative et nulle.
b) En déduire le sens de variation de f.
c) Prouver que : pour tout x $\in$ [0;+$\infty$[ on a sinx$\leq$x

2) Par une démarche analogue vous déterminerez le signe, pout tout x $\in$ [0;+$\infty$[, de g(x)=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1
En déduire, pour tout x $\in$ [0;+$\infty$[, un polynôme minorant cosx.

Pour le signe de g(x) : positif pour ]0;+$\infty$[ et nul quand x=0.

Merci d'avance.
Emilie

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Emilie,

Pour la question 2) il faut faire comme la question 1) !
a) dériver la fonction g et étudier le signe de la dérivée (il faut utiliser la question 1))
b) sens de variation de g
c) en déduire le signe de g, puis l'inégalité demandé.

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Bonjour
Voici ce que j'ai fait :

g'(x)=-sinx+1/2$\times$2x=-sinx+x=-f(x)

signe de f(x) : négatif sur ]0;+$\infty$[ et nul quand x=0
signe de g'(x) : positif sur ]0;+$\infty$[ et nul quand x=0

Donc g est strictement croissant sur [0;+$\infty$[
Signe de g(x) : positif sur ]0;+$\infty$[ et nul quand x=0

g(x)$\geq$0
cosx+$\frac{x^2}{2}$-1$\geq$0
cox$\geq$+$\frac{-x^2}{2}$+1

Est-ce juste ?

Voici la suite de l'exercice :

3) Soit h la fonction qui, à tout x positif ou nul, associe h(x)=sinx-x+$\frac{x^3}{6}$
a) Montrer que h est dérivable et que sa dérivée est g.
b) Déterminer le sens de variation puis le signe de h.
c) Déduire de l'ensemble des résultats un encadrement, pour tout x positif, de sin x par 2 polynômes.

3)a) h'(x)= cosx-1+$\frac{x^2}{2}$=g(x)
b) h est strictement croissante sur [0;+$\infty$[
signe de h(x) : positif sur ]0;+$\infty$[ et nul quand x=0

Pour la question 3)c) je n'ai trouvé qu'un seul polynôme.
h(x)$\geq$0
sinx-x+$\frac{x^3}{6}$$\geq$0
sinx$\geq$x-$\frac{x^3}{6}$

Merci de votre aide.
Emilie

[SoS-Math(9)]

Bonjour Emilie,

Ton travail semble juste.
Pour la question 3c), tu as déja trouvé une fonction qui majore sin(x) à la question 1.
donc tu as ton encadrement.

SoSMath.