Etude de fonctions de référence

[Fanny.B]

Bonjour, j'ai un dm de maths pour mardi où je bloque, voilà l'exercice :

On définit les fonctions f,g et h sur l'intervalle [0 ; 1 ] par :
f(x) =√(1+x), g(x) = 1+ (x/2) et h(x) = 1 + (x/2) - (x²/8)
1.a. Comparer (f(x))² et (g(x))²
b. En déduire que pour, 0<x≤1, √(1+x) < 1+(x/2)
2.a. Montrer que, pour 0≤x≤1, h(x) est positif.
b. Comparer (f(x))² et (h(x))² sur l'intervalle [0;1].
c. En déduire que, pour 0<x≤1 , 1+(x/2)-(x²/8) < √(1+x)
3. Décrire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f, g et h.

J'ai déjà fais la question 1, j'ai trouvé :
1.a. (f(x))² = √(1+x)² = (√1)² + (√x)² = 1+x (g(x))² = (1+(x/2)² = 1² + 2*1*(x/2)+ (x²/4) = 1 + (2x/2) + (x²/4) = 1+x+(x²/4)
Pour tout x ∈ R x²>0 donc 4>0 tout en sachant qu'une addition est positive : 1+x < 1+x+(x²/4) donc √(1+x)² < (1+(x/2)²
b. D'après la question a on peut conclure que pour tout x ∈ [O;1] donc √(1+x) < (1+(x/2))

A la question 2 a je n'y arrive pas car mon professeur m'a dit de tout mettre au même dénominateur qui est 8 et ensuite calculer delta mais ce dernier est négatif (-16) ce qui me paraît pas cohérent. Pouvez-vous m'expliquer comment résoudre cette question.
Merci d'avance.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Fanny,

OK pour le a) mais il y a une erreur dans l'explication : tu écris \((\sqrt{x+1})^2=\sqrt{1}2+\sqrt{x}2=1+x\) mais \((\sqrt{x+1})^2\)est différent de \(\sqrt{1}^2+\sqrt{x}^2\) ; tu as tout simplement \((\sqrt{x+1})^2=1+x\).

Pour le 2) Tu as \(h(x)=\frac{-x^2+4x+8}{8}\) et \(\Delta=48\) donc tu as deux racines et \(h(x)>0\) lorsque \(x\) est compris entre les deux racines.

Vérifie tes calculs et cela doit aller, bon courage.

[Fanny]

Veuillez m'excuser pour ne pas avoir répondu avant.

Donc pour le 1 je supprime la deuxième ligne et ne garde à la fin que 1+x.

Pour le 2.a je dois faire un tableau de signe pour prouver en montrant juste que dans l'intervalle [0;1] h(x) est positive ?

Merci beaucoup pour votre aide.

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Effectivement, il n'y a que cela à faire.

Bonne continuation

[Fanny]

Bonjour,

Pour la 2.b. j'ai fais le développement de (h(x))² mais je n'arrive pas à le comparer correctement avec (f(x))² sur [0;1] car sur mon brouillon pour prouver j'ai remplacé x par 1 sauf que sur ma copie je ne peux pas le justifier par cela, mais je ne vois pas d'autres manières. Voilà mon développement :
1+((x/2)-(x²/8))², je les ais mis entre parenthèses car pour moi ils représentaient (a²-b²).
1+(x²/4) - 2*(x/2)*(x²/8) + (x4/64)
1+ (x²/4) - (2x3/16)+ (x4/64)
1+(x²/4)-(x3/8)+(x4/64)
1+ (16x²/64)-(8x3/64)+(x4/64)

Merci beaucoup.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Fanny,

Ton calcul est correct mais ta formule ne l'est pas, il faut tout recaculer.
Pour calculer \((h(x))^2\) applique la formule \((a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac\) avec \(a=1\) ; \(b=\frac{x}{2}\) et \(c=\frac{x^2}{8}\).

Ensuite pour comparer avec \((f(x))^2\) fais la différence \((f(x))^2-(h(x))^2\) il te reste une expression que tu peux factoriser et dont chaque facteur est positif.

Bon courage

[Fanny]

Bonjour,
D'accord et merci beaucoup pour votre aide.