Bonjour,j'ai un exercice a faire et je n'est pas réussit à le résoudre
Soient A, B, C et D quatre points deux a deux distincts tels que (AB) et (CD) soient sécantes en un point M (distinct de ces quatre points)
1) On suppose A, B, C, D cocycliques. Montrer que MA. MB = MC. MD
2) On suppose que MA. MB = MC. MD
3) Montrer que pour tout point E du plan, MC. ED = MA.MB - MC.ME
4) En suppose que E est un point d'intersection du cercle circonscrit à (ABC) et de (MC) a l'aide de ce qui précède, montrer que E=D
5) En déduire que A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si MA.MB = MC.MD
Merci d'avance pour toute d'aide
Ps tout MA, MB, MC, MD, ME, ED sont des vecteur
critére de cocyclicité
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mohamed
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: critére de cocyclicité
Bonsoir,
Je pense que tu dois utiliser la puissance d'un point M par rapport à un cercle.
Si on a un cercle de centre \(O\), de rayon \(R\) et si \(M\) est un point du plan la puissance de \(M\) par rapport au cercle est égale à :
1°)\(OM^2 - R^2\) ou à
2°) \(\vec{MA}\vec{MB}\) où \(A\) et \(B\) sont les deux points d'intersection d'une droite passant par \(M\) et coupant le cercle ; ou à
3°)\(MT^2\) où \(T\) est le point de contact de la tangente au cercle passant par \(M\).
Par exemple : Si M est sur le cercle sa puissance est 0, la puissance d'un point est un nombre fixe.
Dans la première question \(\vec{MA}\vec{MB}\) et \(\vec{MC}\vec{MD}\) sont deux expressions de cette puissance du même point M, tu peux donc conclure.
Pour la question 3 : Décompose \(\vec{ED}\) à l'aide de la relation de Chasles et du point \(M\), et utilise l'hypothèse pour conclure.
Pour la question 4 : Utilise l'égalité de la question 3 et pense que tu as de nouveau deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle pour démontre que \(\vec{MC}\vec{ED}\) est nul, comme \(\vec{MC}\) n'est pas nul conclus.
La question 5 en découle.
Bon courage
Je pense que tu dois utiliser la puissance d'un point M par rapport à un cercle.
Si on a un cercle de centre \(O\), de rayon \(R\) et si \(M\) est un point du plan la puissance de \(M\) par rapport au cercle est égale à :
1°)\(OM^2 - R^2\) ou à
2°) \(\vec{MA}\vec{MB}\) où \(A\) et \(B\) sont les deux points d'intersection d'une droite passant par \(M\) et coupant le cercle ; ou à
3°)\(MT^2\) où \(T\) est le point de contact de la tangente au cercle passant par \(M\).
Par exemple : Si M est sur le cercle sa puissance est 0, la puissance d'un point est un nombre fixe.
Dans la première question \(\vec{MA}\vec{MB}\) et \(\vec{MC}\vec{MD}\) sont deux expressions de cette puissance du même point M, tu peux donc conclure.
Pour la question 3 : Décompose \(\vec{ED}\) à l'aide de la relation de Chasles et du point \(M\), et utilise l'hypothèse pour conclure.
Pour la question 4 : Utilise l'égalité de la question 3 et pense que tu as de nouveau deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle pour démontre que \(\vec{MC}\vec{ED}\) est nul, comme \(\vec{MC}\) n'est pas nul conclus.
La question 5 en découle.
Bon courage
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mohamed
Re: critére de cocyclicité
pour la question 4 je ne voit pas comment faire alors que pour les question 1.2.3 je vous remercie de votre aide mais si vous pouviez m'aide un peu plus pour la question 4 cela vous serait très sympathique
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: critére de cocyclicité
Bonsoir,
Tu as l'égalité : \(\vec{MC}\vec{ED}= \vec{MA}\vec{MB}- \vec{MC}\vec{ME}\)
or \(\vec{MA}\vec{MB}\) et\(\vec{MC}\vec{ME}\) sont deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle circonscrit à ABC puisque E est l'autre point d'intersection de (MC) avec ce cercle.
Déduis-en la valeur du produit scalaire \(\vec{MC}\vec{ED}\) comme \(\vec{MC}\) n'est pas nul, déduis-en \(\vec{ED}\) puis termine.
Bonne continuation
Tu as l'égalité : \(\vec{MC}\vec{ED}= \vec{MA}\vec{MB}- \vec{MC}\vec{ME}\)
or \(\vec{MA}\vec{MB}\) et\(\vec{MC}\vec{ME}\) sont deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle circonscrit à ABC puisque E est l'autre point d'intersection de (MC) avec ce cercle.
Déduis-en la valeur du produit scalaire \(\vec{MC}\vec{ED}\) comme \(\vec{MC}\) n'est pas nul, déduis-en \(\vec{ED}\) puis termine.
Bonne continuation