par Pierre » jeu. 18 avr. 2024 17:19
Bonjour,
J'ai un DM sur les polynômes, pouvez-vous vérifier certaines des réponses que j'ai apportées ? En vous remerciant.
1. On souhaite trouver trois nombres \(a,b,c \in \mathbb{R}\) tels que \(a+b+c = 2\), \(ab+bc+ac = -5\), \(abc = -6\)
-Montrer que cela revient à calculer les racines du polynôme \(P\) défini par \(P(X) = X^3-2X^2-5X+6\)
Montrons que \(a,b,c\) sont les racines d'un polynôme \(P\), pour cela on peut considérer l'expression \((X-a)(X-b)(X-c)\) après développement on obtient \((X-a)(X-b)(X-c) = X^3-X^2(b+a+c)+(ac+bc+ab)X-abc = X^3 - 2X^2-5X+6\)
-Grâce au théorème de factorisation, répondre à la question initiale
En premier lieu \(1\) est une racine évidente de \(P\), ensuite il vient par le théorème de factorisation que \(X-2 | P(X)\), en effectuant la division euclidienne de \(P\) par \(X-1\) on obtient \(X^3-2X^2-5X+6= (X-1)(X^2-X-6)\), en calculant les racines de \(X^2-X-6\) on a \(r_{1} = -2\) et \(r_{3} = 3\) (ou toute autre permutation cyclique des racines trouvées), donc \(a=1\), \(b= -2\) et \(c=3\) car ce sont les racines de ce polynôme, réciproquement on vérifie que les valeurs trouvées conviennent.
2. Déterminer la forme factorisée de \(P(X) = 2X^3-7X^2+2X+3\), c'est à dire \(P = a(X- \alpha)(X - \beta)(X - \gamma)\)
-En premier lieu \(3\) est une racine évidente de \(P\) et son terme égal à son degré est \(a = 2\), on peut écrire d'après le théorème de factorisation \(P(X) = 2(X - 3)(X - \beta)(X - \gamma)\) en développant on trouve \(P(X) = 2X^3-X^2(2\gamma+2\beta+6) + (2\gamma \beta + 6\gamma +6\beta)X-6\gamma \beta\) ce qui donne encore
\(
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta + 6 &= 7 \\
2\gamma\beta + 6\gamma + 6\beta &= 2 \\
-6\gamma\beta &= 3
\end{eqnarray}\right.
\)
\(
\iff
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta &= 1 \\
6\gamma + 6\beta = 3
\end{eqnarray}\right.
\)
-On doit donc avoir \(\gamma + \beta = \dfrac{1}{2}\) ce qui donne \(\gamma\beta = \biggl( \dfrac{1}{2} - \beta \biggr)\beta = -\dfrac{1}{2}\) après développement et factorisation on obtient \((\beta - 1)(\beta + \dfrac{1}{2}) = 0\) ainsi soit \(\beta = 1\) soit \(\beta = \dfrac{-1}{2}\) de même pour \(\gamma\), on peut donc supposer sans perdre en généralité que \(\gamma = -\dfrac{1}{2}\) et \(\beta = 1\), donc le polynôme s'écrit finalement \(P(X) = 2(X-3)(X-1)(X + \dfrac{1}{2})\)
Bonjour,
J'ai un DM sur les polynômes, pouvez-vous vérifier certaines des réponses que j'ai apportées ? En vous remerciant.
1. On souhaite trouver trois nombres [TeX]a,b,c \in \mathbb{R}[/TeX] tels que [TeX]a+b+c = 2[/TeX], [TeX]ab+bc+ac = -5[/TeX], [TeX]abc = -6[/TeX]
[u]-Montrer que cela revient à calculer les racines du polynôme [TeX]P[/TeX] défini par [TeX]P(X) = X^3-2X^2-5X+6[/TeX]
[/u]
Montrons que [TeX]a,b,c[/TeX] sont les racines d'un polynôme [TeX]P[/TeX], pour cela on peut considérer l'expression [TeX](X-a)(X-b)(X-c)[/TeX] après développement on obtient [TeX](X-a)(X-b)(X-c) = X^3-X^2(b+a+c)+(ac+bc+ab)X-abc = X^3 - 2X^2-5X+6[/TeX]
[u]-Grâce au théorème de factorisation, répondre à la question initiale
[/u]
En premier lieu [TeX]1[/TeX] est une racine évidente de [TeX]P[/TeX], ensuite il vient par le théorème de factorisation que [Tex]X-2 | P(X)[/Tex], en effectuant la division euclidienne de [TeX]P[/TeX] par [TeX]X-1[/TeX] on obtient [TeX]X^3-2X^2-5X+6= (X-1)(X^2-X-6)[/TeX], en calculant les racines de [Tex]X^2-X-6[/Tex] on a [TeX]r_{1} = -2[/TeX] et [TeX]r_{3} = 3[/TeX] (ou toute autre permutation cyclique des racines trouvées), donc [TeX]a=1[/TeX], [TeX]b= -2[/TeX] et [TeX]c=3[/TeX] car ce sont les racines de ce polynôme, réciproquement on vérifie que les valeurs trouvées conviennent.
[u]2. Déterminer la forme factorisée de [TeX]P(X) = 2X^3-7X^2+2X+3[/TeX], c'est à dire [Tex]P = a(X- \alpha)(X - \beta)(X - \gamma)[/Tex][/u]
-En premier lieu [TeX]3[/TeX] est une racine évidente de [TeX]P[/TeX] et son terme égal à son degré est [TeX]a = 2[/TeX], on peut écrire d'après le théorème de factorisation [TeX]P(X) = 2(X - 3)(X - \beta)(X - \gamma)[/TeX] en développant on trouve [TeX]P(X) = 2X^3-X^2(2\gamma+2\beta+6) + (2\gamma \beta + 6\gamma +6\beta)X-6\gamma \beta[/TeX] ce qui donne encore
[TeX]
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta + 6 &= 7 \\
2\gamma\beta + 6\gamma + 6\beta &= 2 \\
-6\gamma\beta &= 3
\end{eqnarray}\right.
[/TeX]
[TeX]
\iff
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta &= 1 \\
6\gamma + 6\beta = 3
\end{eqnarray}\right.
[/TeX]
-On doit donc avoir [TeX]\gamma + \beta = \dfrac{1}{2}[/TeX] ce qui donne [TeX]\gamma\beta = \biggl( \dfrac{1}{2} - \beta \biggr)\beta = -\dfrac{1}{2}[/TeX] après développement et factorisation on obtient [TeX](\beta - 1)(\beta + \dfrac{1}{2}) = 0[/TeX] ainsi soit [TeX]\beta = 1[/TeX] soit [TeX]\beta = \dfrac{-1}{2}[/TeX] de même pour [TeX]\gamma[/TeX], on peut donc supposer sans perdre en généralité que [TeX]\gamma = -\dfrac{1}{2}[/TeX] et [TeX]\beta = 1[/TeX], donc le polynôme s'écrit finalement [TeX]P(X) = 2(X-3)(X-1)(X + \dfrac{1}{2})[/TeX]