Bonne suite de travail et soigne bien la rédaction de tes réponses : c'est très important en arithmétique car il y a souvent beaucoup d'explications à fournir avec les calculs.

D’accord merci beaucoup

Bonjour,
C’est ce qu’on avait évoqué comme démarche et je t’avais indiqué 68 comme réponse.
Je pense que tout est correct.
Bonne continuation

Oui c’est beaucoup plus clair merci , pour 2018**2019**2020 j’ai procédé de cette manière :

2018 est congru à 18 mod [100]
Et 2018**5 est congru à 1889568 mod [100]
Et que l’exposant 5 est congru à 1 mod [4]

De plus , 2019 est comgru à 3 mod [4]
2019**2 est congru à 9 mod [4]
Et (2019**2)**1010 est congru à 1**1010 mod [4]
Donc 2019**2020 est congru à 1 mod 4
Et j’ai trouvé que les deux derniers chiffres sont 68 , c’est correct ?

Bonjour,
il y a une erreur : \(2020\) est congru à 20 modulo 100.
ensuite, si tu élèves à la puissance 2021, \(2020^{2021}\) sera congru à 0 modulo 100 car tu auras dans cette puissance le facteur
\(2020^{2021}=2020^{2}\times 2020^{2019}\) et \(2020^{2}=4080400\) est congru à 0 modulo 100 donc le produit aussi.
Ensuite en élevant à la puissance \(2021^{2021}\), tu auras encore une congruence 0 modulo 100 :
\(2020^{2021^{2022}}=\left(2020^{2021}\right)^{2021^{2021}}\equiv (0)^{2021^{2021}}\equiv 0\) donc que les deux derniers chiffres du nombre sont 0 et 0.
Est-ce plus clair ? Il est vrai que la manipulation d'exposant n'est pas simple ici...
Bonne continuation

Pour 2020**2021**2022 j’ai procédé de cette manière:

On sait que 2020 est congru à 10 mod[100]

Donc 2020**2 est congru à 100 mod[100]

Et (2020**2)**1010,5 est congru à 1**1010,5 mod[100]

Donc 2020**2021 est congru à 1 mod[100]

Donc (2020**2021)**2 est congru à 1**2 mod[100]

Et ((2020**2021)**2)**1011 est congru à 1**1011 mod[100]

Donc 2020**2021**2022 est congru à 1mod[100] qui est congru à 0mod[100]. Donc les deux dernier chiffres de l’écriture en base 10 du nombre 2020**2021**2022 sont 22. Cela est-il correct ?

Bonjour,
tu peux commencer par regarder la congruence de \(2020\) modulo 100.
et élever ensuite à la puissance \(2021^{2022}\), tu verras assez vite une congruence simple.
Pour le deuxième, c'est la même démarche mais c'est un peu plus délicat. Il s'agit de regarder la congruence modulo 100 de 2018 :
\(2018\equiv 18 \mod{100}\)
Ensuite tu regardes les puissances successives de 18 : tu verras qu'elles se terminent de manière cyclique, selon l'exposant, par :
[list]
[*] si l'exposant est congru à 0 modulo 4, elle se termine par 76
[*] si l'exposant est congru à 1 modulo 4, elle se termine par 68
[*] si l'exposant est congru à 2 modulo 4, elle se termine par 24
[*] si l'exposant est congru à 3 modulo 4, elle se termine par 32[/list]
Maintenant, il faut que tu regardes la congruence de l'exposant \(2019^{2020}\) modulo 4.
Tu dois trouver que les deux derniers chiffres sont 68.
Bonne continuation

Oui cela correspond aux puissances.
D’accord et comment procéder ?

Bonjour,
les ** représentent des multiplications ou la mise en puissance :
\(2020\times 2021\times 2022\) ou bien \(2020^{{2021}^{2022}}\) ?
Pour obtenir les deux derniers chiffres d'un nombre, il faut regarder les congruences modulo 100.
Bonne continuation

Bonsoir , je ne sais pas comment procéder pour répondre à ces deux questions :

Quels sont les deux derniers chiffres de l’écriture en base 10 du nombre 2020**2021**2022 ?

Quels sont les deux derniers chiffres de l’écriture en base 10 du nombre 2018**2019**2020 ?

Je suppose qu’il faut utiliser les congruences ?