Bonjour,
merci pour cet éclairage supplémentaire qui me fait bien comprendre toutes les subtilités et les conditions indispensables de validité du théorème.
Avec toute ma gratitude,
C.

Bonjour,
oui c'est cela, il faut tout de même la condition que le graphe soit connexe :
[quote]théorème d'Euler : Un graphe connexe possède un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair.[/quote]
cette condition est indispensable pour construire la démonstration : (G avec sommets de degré pair ) \(\Rightarrow\) (G possède un cycle eulérien). Cette démonstration s'appuie sur un raisonnement par récurrence en utilisant les degrés des sommets qui sont tous supérieurs à deux.
La version que tu cites est un simple corollaire (une conséquence) :
[quote]Corollaire du théorème d'Euler : Un graphe connexe possède un chemin eulérien si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.
De plus, si le graphe possède exactement deux sommets de degré impair alors toutchemin eulérien commence en un de ces sommets et se termine à l'autre.[/quote]
Si tu veux en savoir plus, je te joins un cours dispensé à des lycéens pour les olympiades de maths : les démonstrations y figurent.
[attachment=0]graphes-cours.pdf[/attachment]
Bonne continuation

Merci infiniment,
voilà pourquoi le théorème d'Euler peut aussi s'écrire :
G admet une chaîne eulérienne si et seulement si G admet au plus 2 sommets de degré impair.
Je comprends mieux.
Bonne soirée !!!
C.

Bonjour,
il y a une propriété importante valable pour tous les graphes non orientés :
[quote]Propriété : la somme des degrés des sommets d'un graphe (non orienté) est égale au double du nombre d'arêtes (lemme des poignées de main)[/quote]
En effet, déterminer le degré d'un sommet revient à compter le nombre d'arêtes dont il est l'une des extrémités. Lorsqu'on fait la somme des degrés des sommets d'un graphe, le comptage revient donc à compter exactement deux fois chaque arête.
En conséquence, ce qui est important de retenir, c'est la somme des degrés d'un graphe est toujours un nombre pair ce qui interdit l'existence d'un unique sommet de degré impair puisque la somme de plusieurs nombres pairs et d'un seul nombre impair est un nombre impair.
Plus généralement, on obtient que le nombre de sommets de degré impair est pair : il peut donc y en avoir 0, 2, 4,...
Cette propriété s'applique au cas général et don aussi au cas d'un graphe connexe.
J'espère que cela répond à ta question
Bonne continuation

Bonjour,
est-il normal qu'il n'existe pas de graphe connexe avec 1 seul sommet de degré impair ?
Existe-il un graphe avec 1 seul sommet de degré impair ?
Merci !
C.