Bonsoir Nicolas,

Les cours ont repris et je n'ai pas assez de temps pour regarder à nouveau ton devoir.
Je regarderai en fin de semaine.

SoSMath.

Bonjour,

En plus de mon message de 13h50 de dimanche, j'ai encore quelques questions (je dois rendre mon DM mercredi) :

Partie D :

Système obtenu en 8.a :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x6=d4+d3-d2
2x5=-d1+d2-d3+d5
0=d1-d3-d4+d6

Pour la question 8.c.i, j'attends votre réponse pour x2=x5, car je ne trouve vraiment pas...

Pour la question 8.c.ii, que faire ?

J'ai pensé à utiliser la ligne 3 du système ci-dessus : x3-x4+x5=d2-d1. Comme d1 et d2 sont impairs, d2-d1 est pair, donc x3-x4+x5 est pair.
Ainsi, on aboutit bien aux propositions de l'énoncé.

Mais mon principal problème ici est : comment rédiger correctement ce que j'ai écrit ci-dessus ?

Pour la question, suffit-il de déduire des questions 8.c.i et 8.c.ii ?
Je n'ai pas réussi...

10. Toujours pas d'idée après avoir échelonné le système...

11. On doit donc avoir tous les d_k impairs sauf d5 qui est impair ? Et que signifie "reprendre les résultats de la question 7" ? On reprend juste le système obtenu ou plus de choses ?

12. Ici, je ne comprends pas... Pourquoi pourrait-on trouver un modèle alors qu'il est dit après qu'il est impossible à reproduire ? Comprenez-vous ?

Merci, c'est promis, ce sont les dernières questions que je vous pose sur ce DM ! J'espère que vous pourrez y répondre.

Merci infiniment une nouvelle fois pour votre aide, et bonne rentrée !

Bonjour,

Merci beaucoup pour la réponse sur l'intégrale, c'est très clair dit comme ça !

Concernant le DM :

A propos de cette question :
Si on fixe une liste (x1, x2, x3, x4, x5, x6) appartenant à (0;1)^6 et on suppose que d1, d2, d3, d4, d5, d6 sont tous impairs, on doit montrer que : x1 est différent de x3, x2=x5, et x4 est différent de x6.

J'ai donc réussi à montrer que x1 est différent de x3 et x4 différent de x6.
Par contre, comment montrer que x2=x5 ?

Je ne vois pas de raisonnement par l'absurde que l'on pourrait faire dans ce cas...

D'autre part, est-ce grave ou problématique ou faux de montrer dans le désordre que x1 est différent de x3, x2=x5, et x4 est différent de x6 ? Car là on ne répond pas dans l'ordre de la question...

Merci encore pour l'aide, ce DM est bientôt fini !

Bonjour,
la dérivée de \(u^2\) est égale à \(2\times u'\times u\) donc si on prend les choses à l'envers, une primitive de \(u'\times u\) est \(\dfrac{1}{2}u^2\) (il y a juste le facteur 2 que l'on a "déplacé" en facteur \(\dfrac{1}{2}\) de la gauche vers la droite).
C'est ce qui est appliqué dans ton cas avec \(u(\theta)=tan(\theta)\)
Bonne continuation

OK, merci beaucoup pour toutes ces réponses !

Je vais maintenant essayer de tout mettre au propre, cela va prendre beaucoup de temps...

Une autre petite question concernant le chapitre sur les intégrales :

pourquoi peut-on dire que intégrale entre 0 et pi/4 de tan'(teta)*tan(teta)dteta=[1/2*tan^2(teta)] entre 0 et pi/4 ?

Merci encore !

Nicolas,

Oui les valeurs peuvent être égales …
Mais attention à bien lire l'énoncé …
Si tu appuis 3 trois fois sur la touche 1, alors x1 prendra comme valeur 1 puis 0 puis 1, mais d1 prendra comme valeur 1 puis 2 puis 3...

Pour les questions 9 et 10 de la partie D, il faut échelonner le système puis donner le rang. Faut-il étudier le cas d1 impair et les autres pairs ? je ne sais pas !

SoSMath.

On dit donc aussi qu'ils peuvent être égaux ?

Je suis en train de faire le raisonnement par l'absurde. Pour le reste de la partie D, en considérant que le tout dernier système obtenu soit juste, que faut-il que je fasse ensuite ?

Parce que l'on dit étudier de manière similaire, mais comme il y a plus d'équations, je ne sais pas s'il faut faire exactement pareil que pour les questions 8.b et 8.c...

Faut-il montrer par exemple, dans le cas où (n,p)=(2,5), la même chose que pour la question 8.b : qu'il n'existe aucune liste (x1,x2,x3,x4,x5,x6) telle que d1 est impair et d2,d3,d4,d5,d6 sont pairs ?

Ou faut-il prendre une autre liste car il y a plus d'équations dans le système que dans le cas où (n,p)=(2,3) ?

Si oui, quelle liste prendre ?

Merci encore et désolé de vous déranger autant.

Nicolas,

ce que tu as fait est juste ... tu sais de plus qu'il n'y a qu'une seule solution, donc c'est normale qu'il n'y ait qu'une seule solution pour les d_k ...
De plus on ne dit pas ques les d_k sont tous différents ... on dit juste qu'ils ne' sont pas obligatoirement égaux !

SoSMath.

Effectivement, dit comme cela c'est vraiment plus clair !

Merci beaucoup.

J'ai aussi un problème pour la synthèse du raisonnement par analyse-synthèse de la question 1.c de la partie A.

Dans l'analyse, je montre que l'on obtient la liste (0,1,0,0,1,0).

Mais dans la synthèse, que faire ? Il faudrait vérifier que les valeurs trouvées conviennent, mais cela ne convient que si on prend d_k=1, et pas si on prend d_k=3 par exemple... De plus, si on prend d_k=1, cela ne correspond pas à la question qui dit que les d_k ne sont pas nécessairement égaux... Je suis donc un peu perdu...

Que pensez-vous que je dois faire dans cette synthèse ?

Merci infiniment pour toute cette aide !

Nicolas,

je te rappelle que soustraire c'est additionner l'opposé …
Donc la règle pour la somme et la différence est la même …
d1 impair donc d1=2k+1 où k est un entier
d2 impair donc d2=2p+1 où p est un entier
Donc d1-d2 = 2k+1 - (2p+1) = 2(k-p), donc d1-d2 est pair (positif ou négatif).
C'est la même chose pour d1+d2 !

SoSMath.

Bonjour,

Merci beaucoup pour la réponse.

C'est OK pour la question 1.

Pour la question 2., je vais esssayer de faire ce raisonnement par l'absurde, je vous tiens au courant.

D'autre part, on admet dans l'énoncé que la somme : de deux entiers pairs est paire, de deux entiers impairs est paire, d’un entier pair et d’un entier impair est impair.

J'aimerais montrer que, si d1 et d2 sont impairs, alors d2 MOINS d1 est paire.

Je sais que l'on doit utiliser le fait que la somme de deux entiers impairs est paire, mais je n'ai pas trop compris pourquoi...

Surtout, sur ma copie, comment justifier le fait que d2 MOINS d1 est paire, en sachant que la somme de deux entiers impairs est paire ?

Merci encore pour votre aide, c'est vraiment génial votre aide !

Bonjour Nicolas,

pour le 1, regarde ta dernière ligne 0=d1-d3-d4+d6 … -d3-d4+d6 est pair et d1 est impair, donc d1-d3-d4+d6 est impair donc d1-d3-d4+d6 différent de 0.

pour le 2, essaye de faire un raisonnement par l'absurde ..
Suppose de x1 = x3
alors tu obtient d1=x1+x2+x4 et d3=x1+x2+x6.
Sachant que x4 \(\neq\) x6, alors (x4=0 et x6=1) ou (x4=1 et x6=0) ...
je te laisse terminer.

SoSMath.

Bonjour,

Merci pour votre réponse, c'est normal que vous n'ayez pas le temps vu la longueur du DM...

Je sélectionne donc les points qui me posent le plus problème et les plus "rapides" :

Avec ce système :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x6=d4+d3-d2
2x5=-d1+d2-d3+d5
0=d1-d3-d4+d6

1. Comment montrer qu'il n'existe aucune liste (x1, x2, x3, x4, x5, x6) appartenant à (0;1)^6 telle que d1 est impair et d2, d3, d4, d5, et d6 sont pairs.

2. Si on fixe une liste (x1, x2, x3, x4, x5, x6) appartenant à (0;1)^6 et on suppose que d1, d2, d3, d4, d5, d6 sont tous impairs, on doit montrer que : x1 est différent de x3, x2=x5, et x4 est différent de x6.

J'ai réussi à montrer que x4 est différent de x6 :
D'après le système, on a : x4+x6=d4+d3-d2. Or, comme d1, d2, d3, d4, d5, et d6 sont tous impairs, alors d4+d3-d2 est impair. Donc, comme x4+x6=d4+d3-d2, x4 et x6 ne doivent pas avoir la même parité. Donc x4 est différent de x6.

Ce raisonnement est-il exact ?

Par contre, je n'arrive pas à montrer que x1 est différent de x3 ni x2=x5. Avec l'équation 2x5=-d1+d2-d3+d5, j'ai pensé à une disjonction de cas avec x5=1 ou x5=0, mais elle n'aboutit pas... Avez-vous trouvé un raisonnement pour montrer ces 2 choses ?

Voilà, j'espère que vous aurez le temps de répondre à ces 2 questions !

Bonne journée et merci encore.

Bonsoir Nicolas,

Effectivement, ton devoir est "monstrueux" par sa longueur …
Et je ne peux pas vérifier toutes tes réponses par manque de temps.
Ce que tu as fait semble cohérent. Il faut prendre confiance en toi.
Si tu as fait des erreurs, cela n'est pas très grave. Ce qui compte, c'est d'avoir chercher et trouver des réponses cohérentes.
Tu pourras avec la correction de ton professeur reprendre ce devoir et analyser tes erreurs.

Bon courage,
SoSMath.

Merci pour votre réponse.

J'ai essayé d'avancer le plus possible ce DM.

Voici les questions que je me pose désormais :

1. A propos du rang, j'ai pu lire que le rang d'un système est égal aux nombres d'équations indépendantes. Dans cette phrase, que signifie "nombre d'équations indépendantes" ?

Dans mon cours, on parle seulement de :

-- le rang : le nombre de pivots non nuls ; — les équations principales : les lignes contenant les pivots non nuls ; — les équations auxiliaires : les lignes qui ne sont pas des équations principales ; — les inconnues principales : les inconnues associées aux pivots non nuls ; — les inconnues auxiliaires : les inconnues qui ne sont pas des inconnues principales.

2. J'ai aussi lu que : "Lorsque le rang égale le nombre d'inconnues, le système a une solution unique." Mais dans mon cours il est écrit que : "Si toutes les équations auxiliaires sont compatibles et si toutes les inconnues sont principales alors le système linéaire admet une unique solution." La phrase que j'ai lue et celle de mon professeur sont-elles équivalentes ?

3. Que peut-on en déduire ? (question 1.c) Il faut tout simplement en déduire qu'il existe une unique combinaison de touches pour éclairer toutes les touches dans le cas où (n,p)=(1,6), et cette combinaison est (0,1,0,0,1,0) ? Est-ce la seule déduction selon vous ? Il n'y a rien à dire de plus ?

4. Comment rédiger la question 1.c ? Je pensais à l'analyse-synthèse, mais est-ce que cela permettrait bien de montrer l'existence ET l'unicité ? Dans ce cas, c'est l'analyse qui permet de montrer l'existence et la synthèse qui permet de montrer l'unicité ? Je ne vois pas du tout comment rédiger, désolé...

5. Pour la question 1.d, on doit avoir d1 impair et tous les autres pairs. Même question : comment rédiger pour montrer la liste trouvée ? Analyse-synthèse ou autre chose ? J'ai en effet trouvé l'unique liste (0,1,1,0,1,1) : est-elle correcte ?

6. Pour la question 5.a, voici le système que j'ai trouvé :

x1+x2=d1

x2+x3+x4=d3

x3=d2-d1

x4+x5=d4-d2+d1

x5+x6+x7=d6

x6=d5-d4+d2-d1

x7=d7-d5+d4-d2+d1

Est-ce correct ? Le rang est-il bien égal à 7 ?

7. Il faut encore que je fasse les questions 5.b et 5.c, je vous tiens au courant, mais il y a le même problème que pour la partie A : on effectue un raisonnement par analyse-synthèse pour ces 2 questions ou autre chose ?

8. Pour la question 7, voici le système que j'ai trouvé :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x7+x8=d7
x5+x7+x8+x9=d8
x6+2x7+x8=d4+d3-d2-d5
-2x7-x8-2x9=-d1+d2-d3+d5-2d8
-x8+8x9=5d1-3d2+d3-2d4-3d5+2d6-4d7+6d8
11x9=6d1-3d2+d3-3d4-4d5+2d6-4d7+6d8+d9
Est-il correct ? Son rang est-il bien égal à 9 ?

9. Pour la question 8 (partie D), voici le système que j'obtiens :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x6=d4+d3-d2
2x5=-d1+d2-d3+d5
0=d1-d3-d4+d6

Est-ce correct ? Par contre, là, je n'arrive pas à trouver le rang, comment faire ?

10. Pour la question 8.b, j'ai dit que, d'après la dernière équation du système ci-dessus, comme d1 est impair et d2, d3, d4, d5, et d6 sont pairs, alors : d1-d3-d4+d6 est impair. Or : d'après le système, 0=d1-d3-d4+d6. Mais 0 est pair. Donc incohérence.
Ce raisonnement est-il correct ?

11. Pour la question 8.c, j'ai plus de mal.
J'ai réussi à montrer que x4 est différent de x6 :
D'après le système, on a : x4+x6=d4+d3-d2. Or, comme d1, d2, d3, d4, d5, et d6 sont tous impairs, alors d4+d3-d2 est impair. Donc, comme x4+x6=d4+d3-d2, x4 et x6 ne doivent pas avoir la même parité. Donc x4 est différent de x6.

Ce raisonnement est-il exact ?

Par contre, je n'arrive pas à montrer que x1 est différent de x3 ni x2=x5. Avec l'équation 2x5=-d1+d2-d3+d5, j'ai pensé à une disjonction de cas avec x5=1 ou x5=0, mais elle n'aboutit pas...

Ensuite, pour la question 8.c.ii, comment faire ? Là, pour le coup, je n'ai vraiment plus d'idée...

12. Voici le système que j'ai trouvé pour la question 10 :

x1+x2+x6=d1

x2+x3+x4+x8=d3

x3+x7-x6=d2-d1

x4+x5+x6-x7+x9=d1-d2+d4

x5+x9+x10=d10

x6+x8+x9=d8-d2+d1

x7+x8+x10=d5-d4+d8

x8+2x9+x10=d9+d10-d5

3x9=-d1+d2-d3+2d4+d7-2d8+d10+2d9-3d5

0=d6+d3-d1+d10-d5-d8

Est-ce correct ? Par contre, là, je n'arrive pas non plus à trouver le rang, comment faire ?

13. Ensuite, avec le système ci-dessus, on fait comme à la question 8.b, mais que doit faire pour faire de même qu'à la question 8.c.ii étant donné que l'on a plus d'inconnues que pour le système précédent ?

14. Auriez-vous déjà une idée de ce qui est attendu aux questions 11 et 12 de la partie E ? J'ai commencé à y réfléchir, mais je n'ai malheureusement pas d'idée... Et vous ?

Merci infiniment pour votre aide qui m'est indispensable, et désolé pour le nombre important de questions, mais ce DM est assez monstrueux !

J'espère que vous pourrez tout de même répondre à ces 14 interrogations malgré le temps que cela prend d'y répondre...

Je vous suis vraiment reconnaissant du temps que vous consacrez à m'aider !

Je suis aussi stressé car je dois rendre mon DM lundi prochain et je crains de n'avoir pas le temps de le terminer...

Merci donc pour votre aide, et bonne année 2019 une nouvelle fois.