Bonjour Nathan,
Si \(q > 1\) alors \(q^n\) tend vers 0 si n tends vers 0, donc il est clair que dans ton expression le quotient tends vers 1,
donc l'expression tend vers Phi...

à très bientôt

Merci beaucoup pour la réponse.

Pour la toute dernière question, j'ai essayé autre chose :

d'après la question 4.b, on a :

\(\LARGE \frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\frac{\varphi ^{n+1}-(-\frac{1}{\varphi })^{n+1}}{\sqrt{5}}*\frac{\sqrt{5}}{\varphi ^{n}-(-\frac{1}{\varphi })^{n}}\)

Après quelques calculs intermédiaires, on obtient :

\(\LARGE \frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\varphi*\frac{1-\frac{(-1)^{n+1}}{\varphi ^{2n+1}}}{1-\frac{(-1)^{n}}{\varphi ^{2n}}}\)

Est-ce correct ?

Si oui, comment terminer la réponse : comment montrer que cette quantité tend vers phi ?

Merci encore.

Bonjour Nathan ,
Si la suite \(\tau (n)\) converge, sa limite ne peut être que sur la point fixe de la fonction du 5 a).
c'est donc le nombre \(x\) tel que : \(1+\frac{1}{x}=x\), on doit retrouver le nombre d'or me semble-t-il ?

Pour la question 3)b) il s'agit d'expliquer comment faire pour calculer c(n+2), connaissant c(n) et c(n+1) :
J'ai trouvé une explication sur internet ... http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... boLapi.htm

J'espère que cela t'aidera.
à très bientôt

C'était pour montrer que la fonction f : x -> 1 + 1/x que l'on définit à la question 5.a est définie pour tout x >0.

Est-ce utile ?

Finalement, il me reste donc 2 problèmes :

* je n'arrive pas à montrer ma conjecture pour la toute dernière question : comment montrer à l'aide de la question 4.b. que la suite TAU(n) converge vers le nombre d'or phi ?

* concernant la question 3.b, je sens bien ce qu'il se passe, mais je n'arrive pas du tout à l'exprimer avec des phrases en français...
Que pourrais-je écrire selon vous ?

Merci encore pour l'aide et bonne fin de soirée.

Nathan,

pourquoi veux-tu montrer que la suite (\(\tau_n\)) est positive ?

Il faut montrer que (\(\tau_n\)) est encadrée.

SoSMath.

OK, c'est très clair, merci beaucoup.

Mais finalement je suis un peu perdu...

On ne doit pas plutôt montrer que ce sont les termes de la suite TAU(n) qui sont strictement positifs ?

Si oui, alors je ne vois pas comment faire...

Merci.

Nathan,

tu as écrit :
* Ensuite on dit que comme Fn et Fn-1 sont des entiers strictement positifs par hypothèses de récurrence, alors la somme des 2 est un entier strictement positif. Or Fn+1=Fn + Fn-1. Donc Fn+1 est un entier strictement positif et l'hérédité est alors terminée ?
Réponse : oui.

tu as écrit :
* Pour l'hérédité on suppose que P(n) et P(n-1) sont vraies ?
Réponse : oui. (c'est une récurrence double)

Pour l'autre méthode, cela marche aussi. Voici un lien pour démontrer que les coefficient sont entiers : https://pierreallkenbernard.wordpress.com/2009/01/15/pourquoi-les-coefficients-binomiaux-sont-des-entiers/.

SoSMath.

D'accord, merci beaucoup !

2 questions :

* Ensuite on dit que comme Fn et Fn-1 sont des entiers strictement positifs par hypothèses de récurrence, alors la somme des 2 est un entier strictement positif. Or Fn+1=Fn + Fn-1. Donc Fn+1 est un entier strictement positif et l'hérédité est alors terminée ?

* Pour l'hérédité on suppose que P(n) et P(n-1) sont vraies ?

* Aurait-on aussi pu faire comme ça :
on montrer que un coefficient binomial est un entier naturel strictement positif (par récurrence ?) Si c'est par récurrence, comment faire ? Car je n'ai pas réussi en utilisant la formule de Pascal, et cela m'intéresse...
on montre que comme Fn est définie comme la somme de coefficients binomiaux, alors d'après la ligne ci-dessus, Fn est un entier naturel strictement positif.

Quelle est la méthode la plus pertinente entre la première et la deuxième pour montrer que Fn est un entier naturel strictement positif ?

Merci encore pour l'aide.

Nathan,

Pour montrer que \(F_n\) est un entier pour tout n, tu peux faire une récurrence double …
On utilisera le fait que \(F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\).

SoSMath

D'accord, merci beaucoup.

Je crois que j'ai réussi.

Pour la question 4.a et 4.b, j'aimerais montrer que tous les termes de la suite (Fn) sont des entiers naturels strictement positifs.

Comment puis-je montrer cela ?

J'ai essayé par récurrence mais je n'y arrive pas...

Merci encore.

Bonjour Nathan,

Voici un petit rappel pour t'aider à la question 4b : \(a^{n-1}=\frac{a^n}{a}\).

SoSMath.

D'accord, merci beaucoup d'avance pour la réponse pour la toute dernière question.

Par contre, je n'arrive toujours pas à terminer la question 4.b : comment passer de ce que j'ai écrit dans mon message d'hier à 19h26 à la forme demandée par l'énoncé... Notamment, j'ai puissance n-1, alors que l'énoncé veut puissance n...

Comment faire ?

Merci encore pour l'aide et désolé de vous déranger autant.

Je laisse ton message en attente, il est tard.
Repose toi, mon collègue te répondra demain ou je regarderai demain.

A bientôt

Effectivement, je me disais bien qu'il y avait quelque chose de plus simple que de dériver !

Il n'y avait en effet pas besoin de lire tout le sujet pour cette question.

Par contre, comment faire la toute dernière question ?

Merci encore pour l'aide.

Bonsoir Nathan,

Je n'ai pas lu tout le sujet...
J'aurais plutôt mis tout au même denominateur puis tableaux de signes....

Bon courage