Bonjour, j'ai un DM sur les nombres complexes qui est également en lien d'une part avec la trigonométrie et avec la lecture de courbe et d'autre part avec la probabilité et les suites.
Voici ci-joint les sujets, ce sont les exercices 98, 100 et 57.
Exercice 98
Exercice 100
Exercice 57
J'ai trouvé pour le 98 :
1) A : Z=4i B: Z=4i+a+ib
Comme (\(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\)) = \(\frac{\pi}{2}\) - \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{6}\)
AB = 4
B (cos(\(\frac{\pi}{6}\)), sin(\(\frac{\pi}{6}\))) comme AB = 4 donc Z=4(cos(\(\frac{\pi}{6}\)) + sin(\(\frac{\pi}{6}\)))
Z = 4(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + i \(\frac{1}{2}\)) = 2\(\sqrt{3}\) + 2i
\(\frac{\pi}{6}\) - \(\frac{\pi}{12}\) = \(\frac{-4\pi}{12}\) = \(\frac{-\pi}{3}\)
(\(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{BC}\)) et BC = 2
C (cos(\(\frac{-\pi}{3}\)), sin(\(\frac{-\pi}{3}\))) comme BC = 2 donc Z = 2(\(\frac{-\pi}{3}\) + sin(\(\frac{-\pi}{3}\))
Z = 2(\(\frac{1}{2}\) + i \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)) = 1 - \(\sqrt{3}\)i
2) (\(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{OA}\)) = \(\frac{\pi}{3}\) = thêta
thêta \(\in\) ]0 ; \(\frac{\pi}{2}\)[
\(Z_{A}\) = 4i (0 ; 4)
\(Z_{A}\) = 4i = 0 + 4i
\(Z_{B}\) = 2\(\sqrt{3}\) + 2i (2\(\sqrt{3}\) ; 2)
\(Z_{B}\) = 4(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i)
\(Z_{C}\) = \(Z_{A}\) + \(Z_{B}\)
\(Z_{C}\) = 0 + 4i
\(Z_{C}\) est de la forme a + ib
\(Z_{C}\) = 1 - \(\sqrt{3}\) i d'après 1)
Je m'en suis arrêté là pour le 98.
J'ai trouvé pour le 100 :
Admettons que M est un point de C donc a + ib = \(\frac{x}{x-1}\)
\(\frac{x}{x-1}\) passe par O(0 ; 0) admettons que M = O donc \(\frac{x+1}{x-1+1}\) = \(\frac{x+1}{x}\)
Je m'en suis arrêté là et j'ai essayé le 57 :
1a) P(\(E_{1}\)) = 0,4
\(P_{E1}\)(\(E_{2}\)) = 0,6
\(P_{\overline{E1}}(E_{2}\)) = 0,4
P(\(E_{2}) = \frac{P_{E1}(E_{2}) + P_{\overline{E1}}(E_{2})}{P(E_{1})}\) mais je me suis planté.
b) J'ai fait un arbre de probabilités avec \(E_{n}\) au début et 2 branches sur celle du haut j'ai marqué 3/5 et au bout j'ai marqué \(E_{n+1}\) et sur celle du bas j'ai marqué 2/5 et au bout j'ai marqué \(\overline{E_{n+1}}\)
2a) \(u_{1}\) = 0,4 inférieur strictement à 0,5
\(u_{2}\) = 0,2 \(\times\) 0,4 + 0,4 = 0,48 inférieur strictement à 0,5
\(u_{n}\) inférieur strictement à 0,5 donc \(u_{n} \times\) 0,2 inférieur strictement à 0,5 \(\times\) 0,2
0,2 \(u_{n}\) inférieur strictement à 0,1
0,2 \(u_{n}\) + 0,4 inférieur strictement à 0,1 + 0,4 ce qui équivaut à \(u_{n+1}\) inférieur strictement à 0,5 donc la suite (\(u_{n}\)) est majorée par 0,5.
b) 0,4 inférieur strictement à 0,48 donc \(u_{n}\) inférieur strictement à \(u_{n+1}\) équivaut à \(u_{n}\) inférieur strictement à 0,2 \(u_{n}\) + 0,4 donc la suite (\(u_{n}\)) est croissante.
c) Comme la suite \(u_{n}\) est croissante et majorée, elle est donc convergente d'après le théorème de convergence. Sa limite est donc son majorant soit 0,5.
3a) Les probabilités P(\(E_{n}\)) varient de manière monotone : soit la probabilité de En est 3/5 soit 2/5 dans les 2 cas on ne pourra pas aller plus loin.
b) On a 0,499999 \(\leq P(E_{n}) \leq\) 0,5 à partir de n = 6 jusqu'à n = +\(\infty\) car 0,5 est la limite de la suite \(u_{n}\) et c'est le majorant de la suite \(u_{n}\) donc P(\(E_{n}\)) n'aura jamais une valeur égale à 0,5
C'est tout ce que j'ai fait,
Dans l'attente de votre réponse, je vous souhaite une bonne journée
Valentin
Bonjour, j'ai un DM sur les nombres complexes qui est également en lien d'une part avec la trigonométrie et avec la lecture de courbe et d'autre part avec la probabilité et les suites.
Voici ci-joint les sujets, ce sont les exercices 98, 100 et 57.
Exercice 98
[attachment=1]20181031_101448 (4).jpg[/attachment]
Exercice 100
[attachment=2]20181031_101502 (2).jpg[/attachment]
Exercice 57
[attachment=0]20181031_101549 (2).jpg[/attachment]
J'ai trouvé pour le 98 :
1) A : Z=4i B: Z=4i+a+ib
Comme ([tex]\overrightarrow{u}[/tex], [tex]\overrightarrow{v}[/tex]) = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] - [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] = [tex]\frac{\pi}{6}[/tex]
AB = 4
B (cos([tex]\frac{\pi}{6}[/tex]), sin([tex]\frac{\pi}{6}[/tex])) comme AB = 4 donc Z=4(cos([tex]\frac{\pi}{6}[/tex]) + sin([tex]\frac{\pi}{6}[/tex]))
Z = 4([tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] + i [tex]\frac{1}{2}[/tex]) = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] + 2i
[tex]\frac{\pi}{6}[/tex] - [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] = [tex]\frac{-4\pi}{12}[/tex] = [tex]\frac{-\pi}{3}[/tex]
([tex]\overrightarrow{u}[/tex], [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]) et BC = 2
C (cos([tex]\frac{-\pi}{3}[/tex]), sin([tex]\frac{-\pi}{3}[/tex])) comme BC = 2 donc Z = 2([tex]\frac{-\pi}{3}[/tex] + sin([tex]\frac{-\pi}{3}[/tex])
Z = 2([tex]\frac{1}{2}[/tex] + i [tex]\frac{-\sqrt{3}}{2}[/tex]) = 1 - [tex]\sqrt{3}[/tex]i
2) ([tex]\overrightarrow{AB}[/tex], [tex]\overrightarrow{OA}[/tex]) = [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] = thêta
thêta [tex]\in[/tex] ]0 ; [tex]\frac{\pi}{2}[/tex][
[tex]Z_{A}[/tex] = 4i (0 ; 4)
[tex]Z_{A}[/tex] = 4i = 0 + 4i
[tex]Z_{B}[/tex] = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] + 2i (2[tex]\sqrt{3}[/tex] ; 2)
[tex]Z_{B}[/tex] = 4([tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{2}[/tex]i)
[tex]Z_{C}[/tex] = [tex]Z_{A}[/tex] + [tex]Z_{B}[/tex]
[tex]Z_{C}[/tex] = 0 + 4i
[tex]Z_{C}[/tex] est de la forme a + ib
[tex]Z_{C}[/tex] = 1 - [tex]\sqrt{3}[/tex] i d'après 1)
Je m'en suis arrêté là pour le 98.
J'ai trouvé pour le 100 :
Admettons que M est un point de C donc a + ib = [tex]\frac{x}{x-1}[/tex]
[tex]\frac{x}{x-1}[/tex] passe par O(0 ; 0) admettons que M = O donc [tex]\frac{x+1}{x-1+1}[/tex] = [tex]\frac{x+1}{x}[/tex]
Je m'en suis arrêté là et j'ai essayé le 57 :
1a) P([tex]E_{1}[/tex]) = 0,4
[tex]P_{E1}[/tex]([tex]E_{2}[/tex]) = 0,6
[tex]P_{\overline{E1}}(E_{2}[/tex]) = 0,4
P([tex]E_{2}) = \frac{P_{E1}(E_{2}) + P_{\overline{E1}}(E_{2})}{P(E_{1})}[/tex] mais je me suis planté.
b) J'ai fait un arbre de probabilités avec [tex]E_{n}[/tex] au début et 2 branches sur celle du haut j'ai marqué 3/5 et au bout j'ai marqué [tex]E_{n+1}[/tex] et sur celle du bas j'ai marqué 2/5 et au bout j'ai marqué [tex]\overline{E_{n+1}}[/tex]
2a) [tex]u_{1}[/tex] = 0,4 inférieur strictement à 0,5
[tex]u_{2}[/tex] = 0,2 [tex]\times[/tex] 0,4 + 0,4 = 0,48 inférieur strictement à 0,5
[tex]u_{n}[/tex] inférieur strictement à 0,5 donc [tex]u_{n} \times[/tex] 0,2 inférieur strictement à 0,5 [tex]\times[/tex] 0,2
0,2 [tex]u_{n}[/tex] inférieur strictement à 0,1
0,2 [tex]u_{n}[/tex] + 0,4 inférieur strictement à 0,1 + 0,4 ce qui équivaut à [tex]u_{n+1}[/tex] inférieur strictement à 0,5 donc la suite ([tex]u_{n}[/tex]) est majorée par 0,5.
b) 0,4 inférieur strictement à 0,48 donc [tex]u_{n}[/tex] inférieur strictement à [tex]u_{n+1}[/tex] équivaut à [tex]u_{n}[/tex] inférieur strictement à 0,2 [tex]u_{n}[/tex] + 0,4 donc la suite ([tex]u_{n}[/tex]) est croissante.
c) Comme la suite [tex]u_{n}[/tex] est croissante et majorée, elle est donc convergente d'après le théorème de convergence. Sa limite est donc son majorant soit 0,5.
3a) Les probabilités P([tex]E_{n}[/tex]) varient de manière monotone : soit la probabilité de En est 3/5 soit 2/5 dans les 2 cas on ne pourra pas aller plus loin.
b) On a 0,499999 [tex]\leq P(E_{n}) \leq[/tex] 0,5 à partir de n = 6 jusqu'à n = +[tex]\infty[/tex] car 0,5 est la limite de la suite [tex]u_{n}[/tex] et c'est le majorant de la suite [tex]u_{n}[/tex] donc P([tex]E_{n}[/tex]) n'aura jamais une valeur égale à 0,5
C'est tout ce que j'ai fait,
Dans l'attente de votre réponse, je vous souhaite une bonne journée
Valentin
