merci pour tout !

Tu as bien compris il me semble !!
A bientôt sur SOS Math !

PS : tu peux en savoir plus sur l'ellipse en allant sur [url]https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_(math%C3%A9matiques)#D%C3%A9finition_bifocale_de_l'ellipse[/url]

ou encore : [url]https://www.mathcurve.com/courbes2d/ellipse/ellipse.shtml[/url]

partie 3 terminée !
pour finir on me demande : Dans un parc, un jardinier souhaite inscrire une ellipse dans un rectangle de dimensions 6 mètres par 3 mètres.Proposer une solution en indiquant où se trouveront les piquets A et B par rapport aux milieux des côtés du rectangle.
Quelle devra être la longueur de la ficelle ?

je pense que les piquets doivent occuper les foyers F et F' de l'ellipse.
demi grand axe = 3m
demi petit axe = 1.5 m

MF + MF' = 2a (je l'ai prouvé dans la partie 3)
donc MF + MF' = 6
La longueur de la ficelle doit être 6 m ?
ça me semble un peu rapide comme réponse ?

oui, c'est bien la même chose.
Si on prend la racine carré, on obtient [tex]MF=|5−(4x/5)|[/tex].
Cette expression est toujours positive, on peut enlever la valeur absolue en considérant que x est toujours compris entre -5 et 5 et en raisonnant alors sur le signe de [tex]5−(4x/5)[/tex]
à bientôt

j'ai trouvé pour la suite, la propriété :
[tex]\sqrt{a^{2}} = \left|a \right|[/tex]

or [tex]MF= \sqrt{MF^{2}}[/tex]

donc [tex]MF = \left|(5-(4x/5) \right|[/tex]

[tex]MF^{2} = (xF-xM)^{2}+(yF-yM)^{2}[/tex]


[tex]MF^{2} = (4-x)^{2}+(0-(\frac{3}{5}\sqrt{25-x^{2}}))^{2}[/tex]

[tex]MF^{2} = 16 + x^{2} -8x + ((9/25)*(25-x^{2}))[/tex]

[tex]MF^{2} = 16 + x^{2} -8x + 9(1-(x/5)^{2})[/tex]

[tex]MF^{2} = (x-4)^{2} + 9 (1- (x/5)^{2}) = MF^{2} = 25 + (16x^{2} / 25)-8x[/tex]


Ensuite pour vérifier que [tex]MF^{2} = (5-(4x/5))^{2}[/tex]

je le développe et je compare à ce que j'ai trouvé auparavant ?

[tex]MF^{2} = 25 + (16x^{2} / 25)-8x[/tex]

je trouve bien la même chose ?

puis je dois prouver que valeur absolue de MF = [tex](5-(4x/5))^{2}[/tex] j'utilise la propriété de la fonction racine carrée ? La fonction racine carrée est la fonction définie sur [[0;+∞[ par

f(x)=√​x​​​

Non, tu peux avoir [tex](x-4)^2[/tex] ou [tex](4-x)^2[/tex], ces deux expressions sont égales.
Cela dépend si tu calcule la distance [tex]MF[/tex] ou la distance[tex]FM[/tex], elles sont égales !!
Dans la réponse que tu donnes, tu peux encore développer et réduire.

Ensuite tu dois calculer [tex]MF'[/tex] , non ?

oui j'avais commencé avec la formule de la distance
[tex]MF = \sqrt{(xF-xA)^{2}+(yF-yA)^{2}}[/tex]

[tex]MF^{2} = {(xF-xA)^{2}+(yF-yA)^{2}}[/tex]

[tex]MF^{2} = (4-x)^{2} + (0-(\frac{3}{5} *\sqrt{25-x^{2}})[/tex]

ce qui me perturbait c'est qu'on avait 4-x au lieu de x-4

[tex]MF^{2} = (4-x)^{2}+((\frac{9}{25})*(25-x^{2})) = (4-x)^{2}+ (9-(9x^{2}/25))[/tex] ????????????????

Voici une illustration avec Geogebra ...[attachment=0]conique.PNG[/attachment]
à bientôt

Bonjour Natacha,
Si [tex]F[/tex] a pour coordonnées [tex](4,0)[/tex] et [tex]M (x, f_1(x))[/tex], tu n'as pas besoin d'autre chose pour calculer la distance [tex]MF^2[/tex], il suffit d'appliquer la formule de la distance ...
à bientôt

j'ai terminé la partie 1 et 2, je suis passée à la 3.

Soit M un point d’abscisse x de (E1).
On pose F le point de coordonnées ([tex]\sqrt{a^{2}-b^{2}}[/tex] ; 0) et F’ sont symétriques par rapport à O. F et F’ sont appelés les foyers de l’ellipse (E).

a) Donner les coordonnées de F et F’.
j'ai trouvé
F (4;0) et F' (-4;0)

b) Montrer que [tex]MF^{2}=(x-4)^{2}+9*(1-\frac{x}{5})^{2}=(5-\frac{4x}{5})^{2}[/tex]

je pensais partir avec un point M (x;f1) et appliquer pythagore dans un triangle ?

merci j'ai réussi à terminer cette partie.

J'aborde maintenant la deuxième :
Soit M un point d’abscisse x de (E1).
On pose F le point de coordonnées (racine (a2-b2) ; 0) et F’ sont symétriques par rapport à O. F et F’ sont appelés les foyers de l’ellipse (E).
a) Donner les coordonnées de F et F’.

j'ai trouvé F (4;0) et F' (-4;0)

Bonjour,
tu as \(\dfrac{y^2}{9}=1-\dfrac{x^2}{25}\) donc en multipliant tout par 9, on a [tex]y^2=9\left(1-\dfrac{x^2}{25}\right)[/tex] soit en mettant tout au même dénominateur, tu as [tex]y^2=9\left(\dfrac{25-x^2}{25}\right)[/tex], il te reste à "extraire" le dénominateur puis à appliquer la règle \(y^2=a\) équivaut à \(y=\sqrt{a}\) ou \(y=-\sqrt{a}\) ce qui te donnera ta fonction \(f_1\) et ta fonction \(f_2\).
Bonne continuation

merci.

J'avais déjà essayé d'exprimer y en fonction de x, je trouvais :
f(x)=Racine ((1/9) - (x²/225))

mais pas sûre de mon résultat ?

Bonsoir Natacha,
Une fonction numérique ne peut avoir qu'une seule image pour chaque valeur de [tex]x[/tex].
C'est pourquoi, pour une courbe telle que l'ellipse, si on veut utiliser les fonctions, il faut définir chaque demi-ellipse séparément.
C'est pourquoi le texte invite à prendre [tex]f_1(x)[/tex] et [tex]f_2(x)=-f_1(x)[/tex], les points [tex]M(x;f_1(x))[/tex] et [tex]N(x;f_2(x))[/tex] seront symétriques par rapport à l'axe des abscisse.
Reste à expliquer pourquoi [tex]f_1(x)[/tex] a cette expression !! Il faut repartir de l'équation de départ, et essayer d'écrire [tex]y[/tex] en fonction de [tex]x[/tex] ...
J'espère que cela te permettra d'avancer.