Fonction exponentielle

par **SoS-Math(9)** » sam. 5 mai 2018 17:11

Thomas,

tu as du te tromper lorsque tu a entré l'équation de f.

SoSMath.

par **Thomas** » sam. 5 mai 2018 16:24

C'est bien ce que je trouve, elle est décroissante !

Je ne comprends pas pourquoi le mode GRAPH de ma calculatrice me montre que la fonction est croissante.

par **SoS-Math(33)** » sam. 5 mai 2018 15:43

Tu as \(f(x) = \frac{x}{e^x-1}\)
qui donne \(f'(x) = \frac{e^x-1+xe^x}{(e^x-1)^2}\)
tu as étudié \(e^x-1+xe^x\) et tu as trouvé que c'était \(\leq0\)
donc tu en déduis que \(f'(x)<0\) ce qui donne que \(f\) est décroissante sur \(R\)

par **Thomas** » sam. 5 mai 2018 15:30

Est-ce tableau de variation car d'après ma calculatrice il n'est pas correct ?

par **SoS-Math(33)** » sam. 5 mai 2018 15:16

D'après ton tableau de variation la fonction a un maximum qui est égal à 0 donc la fonction est négative.
Cette fonction étant le numérateur de ta fraction tu en déduis le signe de la fraction donc de la dérivée.

par **Thomas** » sam. 5 mai 2018 14:51

J'ai fait un tableau de variation correct mais je ne vois pas comment continuer.

par **SoS-Math(33)** » sam. 5 mai 2018 13:51

\((e^x)' = e^x\)
\((xe^x)'\) forme \((uv)' = u'v+v'u\) avec \(u=x\) donc \(u'=1\) et \(v=e^x\) donc \(v' = e^x\)
donc \((xe^x)' = e^x +xe^x\)

par **Thomas** » sam. 5 mai 2018 13:35

Je ne comprends pas le passage de la première à la deuxième étape. Pouvez vous détailler ?

par **SoS-Math(33)** » sam. 5 mai 2018 13:15

Il y a une erreur dans le calcul de la dérivée.
\((e^x-1-xe^x)' = e^x-(e^x+xe^x)= e^x-e^x-xe^x= -xe^x\)

par **Thomas** » sam. 5 mai 2018 13:07

J'ai fait le tableau de variation, mais je ne vois pas comment finir la question ...

par **SoS-Math(33)** » sam. 5 mai 2018 12:25

Oui il faut dériver la fonction auxiliaire puis étudier son signe, ce qui donnera le signe du numérateur de la dérivée.

par **Thomas** » sam. 5 mai 2018 12:21

Bonjour,

Faut-il que je dérive la fonction auxiliaire donné à la question 3, ou trouver le signe de e^x(x-1) > 1, dans ce cas je ne vois pas comment faire.

par **SoS-Math(33)** » sam. 5 mai 2018 11:56

Bonjour,
il y a une erreur dans la résolution de ton inéquation au passage de la seconde ligne à la troisième.
Il te faut utiliser l'indication donnée à la question, à savoir étudier la nouvelle fonction qui correspond au numérateur de la dérivée.

par **Thomas** » sam. 5 mai 2018 10:57

Bonjour,

Je continue l'exercice, mais je bloque à la question 3, mon x pour lequel la fonction dérivée change de signe n'est pas possible.
De plus, je ne suis pas sûr d'avoir répondu à la question 1 et d'avoir utiliser la bonne fonction.

Merci en attendant.

par **SoS-Math(30)** » ven. 4 mai 2018 21:35

Bonsoir Thomas,

C'est la dérivabilité en 0 de la fonction exp que l'on te conseille ici d'utiliser.
D'ailleurs, peut-être as-tu montré cette limite dans ton cours sur la fonction exponentielle ? Vérifie.
Comme la fonction exp est dérivable en 0 cela signifie que \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{exp(x)-exp(0)}{x-0}=exp'(0)\).
Autrement dit, \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\).
Et cela te permet de justifier la continuité de la fonction f de ton exercice.

SoSMath

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