Bonjour,
tes réponses manquent de clarté : travaille par implication
si 3n+1 est le reste de la division euclidienne de \((n+1)^3\) par \(n+3\) alors \(0\leqslant 3n+1<n+3\), alors cela implique que n<1
D'ailleurs tu fais une erreur dans ta résolution :
-3n<1
n<-1/3 : tu divises par -3, ce qui change le sens de l'inégalité donc n>-1/3
Ceci dit, c'est inutile de résoudre cette inéquation car \(n\) est positif donc \(3n+1\leqslant 0\) pour tout entier nature \(n\).
Donc n=0 est la seule solution, et on a bien 1=0\times 3+1.
Pour la seconde question tu es amenée à résoudre \(3n+1<n^2\) soit \(n^2-3n-1>0\) (équivalente à ton inéquation)
Tes calculs semblent corrects, il faut juste voir à quoi cela correspond pour des entiers \(n\leqslant \ldots).
Bonne conclusion