Bonjour "visiteur"
Quelle est la question ?

Bonjour,
d'après le cours sur les suites géométriques \(\lim_{n\to+\infty} 6\times 0,9^n=0\) : raison comprise entre 0 et 1...
Avec le théorème dit des gendarmes, tu dois pouvoir conclure.
Bonne continuation

Bonjour
J'ai le même exercice que Clara mais je ne voit pas comment conclure a la 4)c)
Merci d'avance

Bonjour Clara,

Non, tu ne peux pas faire cela !
Il faut utiliser la question précédente où tu as prouvé que pour tout n : 8 - Vn <ou= 6 * 0.9 ^n
Or Vn < 8, donc 0 < 8 - Vn <ou= 6 * 0.9 ^n

Il faut maintenant utiliser un théorème d'encadrement pour conclure sur la limite de 8-Vn, puis celle de Vn.

SoSMath.

Si je met ça c'est bon ?
D'après la formule de récurrence :
lim Vn=1,4*limVn-0,05*limVn²
0=0,4*limVn-0,05*limVn²
lim Vn=0 ou lim Vn=8
Comme Vn est croissante, la limite ne peut pas être nulle donc lim Vn=8

Bonjour Clara,

Il faut répondre en concluant sur la limite de la suite Vn.

SoSMath.

Etant donné qu'au début de la 4, avant de donner la consigne de la 4)a), ils mettaient "Montrer que : f(x) - 8 = - 0.05 (x-20)(x-8)", c'est à ça qu'il faut démontrer dans la "4c : Conclure" ?

Merci pour votre aide

Oui Clara.

SoSMath.

Ah d'accord ! Merci.
Donc après j'ai juste à dire que la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc que pour tout entier naturel n, 8-Vn=<6*0.9^(n+1) ?

Clara,

je ne comprends pas ce que tu fais ....

Par hypothèse de récurrence : 8-Vn =< 6×0,9^n.
on multiplie par 0,9 : 0,9(8-Vn) =< 6x0,9×0,9^n = 6×0,9^(n+1).
Or d'après le 4a : 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn), donc 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn) =< 6x0,9×0,9^n = 6×0,9^(n+1), d'où : 8 - Vn+1 =< 6×0,9^(n+1).

SoSMath.

4b/ Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie au rang p, c'est-à-dire que 8-Vp=<6*0,9^p et on veut prouver qu'elle est vraie au rang p+1, c'est-à-dire que 8-Vp+1=<6*0,9^p+1.
Vous m'avez aidée à faire ça :
8-Vp=<6*0,9^p
0,9(8-Vp)=<6*0,9*0,9^p
0,9(8-Vp)=<6*0,9^p+1
Après j'ai fait ça :
8-Vp+1=<0,9(8-Vp)
8-Vp=<0,9(8-Vp-1)
8-Vp=<0,9*0,9*(8-Vp-2)
8-Vp=<0,9²*(8-Vp-2)
8-Vp=<0,9²*0,9*(8-Vp-3)
8-Vp=<0,9^3*(8-Vp-3)
8-Vp=<0,9^p*(8-Vp-p)
8-Vp=<0,9^p*(8-V0)
8-Vp=<0,9^p*(8-2)
8-Vp=<0,9^p*6
8-Vp=<6*0,9^p
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc vraie pour tout entier n. Pour tout entier naturel n, on a 8-Vn=<6*0,9^n
ça a l'air bon mais je ne comprends pas le rapport avec ce que vous m'avez donné... Je ne vois pas comment utiliser 0,9(8-Vp)=<6*0,9^p+1. A moins que ça soit parce que :
8-Vp=<6*0,9^p est aussi égal à 0,9(8-Vp)=<6*0,9^p+1 en le multipliant par 0,9 ?

Bonjour Clara,

Ok pour le 1c. (Remarque : monotone veut dire croissant ou décroissant.)

4b :
ton hypothèse de récurrence est : 8-Vn =< 6×0,9^n.
on multiplie par 0,9 : 0,9(8-Vn) =< 6x0,9×0,9^n = 6×0,9^(n+1).
utilise alors le 4a : 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn) ...

SoSMath.

1)c) On a V0<V1<V2<...<Vn
Il semble donc que (Vn) soit croissante.
Il semblerait aussi que limVn=+inf quand n tend vers +inf.
Il faut rajouter autre chose ? Dire si elle est monotone, ect ?
4)b) Initialisation :
V0=2
8-V0=<6*0,9^0
6=<6
8-V0=<6*0,9^0, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie au rang p, c'est-à-dire que 8-Vp=<6*0,9^p et on veut prouver qu'elle est vraie au rang p+1, c'est-à-dire que 8-Vp+1=<6*0,9^p+1.
Donc je dois partir de 8-Vp+1=<6*0,9^p+1 et trouver 8-Vp+1=<0,9*(8-Vn) ?