Bonsoir Ali,

Oui tu as raison !
Cependant par hypothèse x>1 (car x appartient à [1, +inf[), donc x2 n'appartient pas à l'ensemble de définition, donc il n'est pas solution.

SoSMath.

bonsoir,

merci pour la réponse, si j'ai bien compris l'approche, elle repose sur des équivalences successives:

[tex]\frac{y-\sqrt{y^2-4}} {2}\lt1\Longleftrightarrow y-\sqrt{y^2-4}\lt2\Longleftrightarrow y^2-4\gt y^2-4y+4[/tex] ...[tex]\Longleftrightarrow y\gt2[/tex], cette dernière inégalité étant vraie par hypothèse donc la première l'est aussi et donc x2 est bien strictement inférieur à 1

(j'ai pris l'inégalité stricte pour bien marquer l'intervalle d'appartenance de x)


cordialement

Bonjour Ali,

En effet, cela ne semble pas évident.

Montrer que [tex]~\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2} \leq 1[/tex] pour y>2 revient à montrer que :

[tex]~y-\sqrt{y^2-4} \leq 2[/tex] pour y>2 revient à montrer que :

[tex]~y - 2 \leq \sqrt{y^2-4}[/tex] Comme [tex]~y > 2[/tex], les deux membres de l'inégalité sont positifs. De plus, la fonction carrée est croissante sur [tex]~[0;+ \infty[[/tex]

donc, revient à montrer que :

[tex]~(y - 2)^2 \leq y^2-4[/tex]...

Je te laisse finir.

En espérant t'avoir aidé,

A bientôt !

Bonjour

J'ai essayé de résoudre un exercice sur les fonctions mais je bloque sur un question:
soit f: définie de [1, +inf[ vers [2;+inf[ par [tex]f(x)=x+\frac{1}{x}[/tex]
montrer que f est bijective:
donc soit :[tex]y=f(x)\Longleftrightarrow y=x+\frac{1}{x}[/tex] , eqation à resoudre avec x comme inconne
[tex]\Longleftrightarrow x^2 -xy+1=0[/tex]
le calcul de delta (y plus grand que 2!) donne 2 racines distinctes (le cas de y=2 donne une racine double x=1)
[tex]x_1=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}[/tex] et [tex]x_2=\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2}[/tex]

là je bloque, je sais qu'une des 2 racines doit sauter mais j'arrive pas à le démontrer.

je consulte la correction, elle donne comme seule solution [tex]x_1=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}[/tex] car [tex]x_1\gt1[/tex] mais pas [tex]x_2[/tex] car [tex]x_2\lt 1[/tex] (je vois pas comment x2 est inf à 1)

merci pour l'aide