Un grand merci vous etes geniaux !

Tout à fait, alpha est donc la solution (ici c'est environ 3,24).

Bonne continuation

D'apres le theoreme des valeurs intermediaires il existe un reel alpha tel que f(alpha)=8 sur [0 ; 4 ]
c'est juste sa la conclusion ?

Tu as les trois conditions :
\(f\) continue, \(f\) monotone croissante et \(f(0) < 8 < f(4)\)

Tu peux donc appliquer le théorème de la valeur intermédiaire qui te dit qu'il existe un seul nombre "\(a\)" tel que \(f(a) = 8\).

Conclus. Bonne fin d'exercice

Il est positif donc c'est croissant ?
Je fais quoi ensuite ?

Ton affirmation : "la fonction f est decroissante sur ]- infini ; + infini[" est fausse et elle ne convient pas, il faut regarder entre 0 et 4 quel est le signe de \(f^,(x)=\frac{2x^3+3x^2}{(x+1)^2}\).

Le reste est bon

Pour la suite j'ai mis :
la fonction f est derivable donc elle est continue sur I
la fonction f est decroissante sur ]- infini ; + infini[
on calcule ensuite f(0) et f(4)
f(0)=0<8
f(4)=12,8>8

C'est juste, au dénominateur garde \((x+1)^2\) au dénominateur puisque tu as un carré et que c'est toujours positif.

2x au cube +3 x au carre / x au carre +2x +1 ?

As-tu utilisé la formule \((\frac{u}{v})^,=\frac{u^,v-uv^,}{v^2}\) ?

Vérifie tes calculs

Pour la derivee je trouve 3x carre/ 1 ?

Pour démontrer l'existence de la solution, tu utilises le théorème de la valeur intermédiaire :

Tu dois vérifier que la fonction est continue sur I, (f dérivable entraîne f continue)
Tu dois vérifier que f est monotone sur I, (la dérivée ne change pas de signe)
et que f(0) < 8 et f(4) > 8 pour pouvoir l'appliquer.

Bonne fin d'exercice

Effzctivement il y avait une erreur dans le manuel l'intervalle est : [0 ; 4]

Il y a trois solutions : \({-2}\) puis \(1-\sqrt 5\) et \(1+sqrt 5\) donc deux solutions inférieures à -1 et une supérieure à 2.

Il n'y en a pas dans l'intervalle donné.

Je ne peux pas t'aider plus que cela.

L'enonce exact est : montrer que l'equation (E) admet au moins une solution sur l'intervalle I indique