Bonne suite.
A bientôt sur sos-math

Merci j'ai enfin fini l'exercice

Merci encore

Pour la 7, c'est plutôt facile avec le théorème de Bezout :
si d est un diviseur de a alors il existe un entier k tel que [tex]a=dk[/tex] puis dans l'égalité de Bezout : [tex].......=1[/tex] soit [tex]..\times U+ ....\times V=1[/tex] ce qui prouve que ...
Pour la 5 et la 6 on peut reprendre Bezout et l'appliquer à une certaine puissance...
Bonne suite

Merci pour la 3

Oui j'ai réussi la 4.

Mais pas la 6 et 7.

Pour l'aide fournie, on a :
[tex]1=(au)^2+(bv)^2+2abuv=(au)^2 + abv^2 + abu^2+(bv)^2- abv^2 + 2abuv - abu^2=(a+b)(au^2+bv^2)+ab(2uv-u^2-v^2)[/tex], ce qui prouve ce que l'on veut.
Pour a premier avec[tex]b^2[/tex], tu peux repartir de Bezout : [tex]1=(au+bv)^2=a^2u^2+2abuv+b^2=a(...)+b^2(...)[/tex].
Continue.

Je n'ai pas réussi la 3, 6 et 7.

Pour la 3:
[tex]1=(au)^2+(bv)^2+2abuv=(au)^2 + abv^2 + abu^2+(bv)^2- abv^2 + 2abuv - abu^2[/tex]
J'ai factoriser mais je bloque je me retrouve avec [tex]ab(2uv)+a(au^2+bv^2+bu^2)+b(bv^2-av^2-au^2)[/tex]

Pour la 6 et 7 je ne vois pas comment faire.
Je ne comprends pas pourquoi vous avez écrit : [tex]pgcd(a,bc)=pgcd(a,c)[/tex]

Prends bien le temps de lire ma réponse, il y a beaucoup de pistes car je ne sais pas quelles sont tes connaissances en arithmétique.
A bientôt

Mince j'ai oublié de le préciser, oui a et b sont premiers entre eux.
Je vais lire attentivement votre réponse.

Bonjour,
Quelles conditions as-tu initialement pour a et b ?
Sont-ils premiers entre eux ?
Si on suppose ces deux entiers premiers entre eux, la première réponse est correcte,
la deuxième aussi, pour la troisième prend un diviseur commun p qui divise [tex]a+b[/tex] et [tex]ab[/tex]. On peut supposer p premier.
donc [tex]p|a+b[/tex] donc [tex]p|b(a+b)[/tex] donc [tex]p|ab+b^2[/tex] donc par soustraction [tex]p|ab+b^2-ab[/tex] donc [tex]p|b^2[/tex]. Comme on a supposé p premier alors [tex]p|b[/tex].
De la même manière, [tex]p|a^2[/tex] et [tex]p|a[/tex] donc [tex]p[/tex] est un diviseur commun à [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex]. Comme ils sont premiers entre eux, on obtient une contradiction.
Donc cela permet de conclure que [tex]a+b[/tex] et [tex]ab[/tex] sont premiers entre eux.
Une autre façon de voir est d'utiliser le théorème de Bezout : si a et b sont premiers entre eux, alors il existe deux entiers u et v tels que [tex]au+bv=1[/tex], en élevant au carré, on a :
[tex]1=(au)^2+(bv)^2+2abuv=(au)^2 + abv^2 + abu^2+(bv)^2- abv^2 + 2abuv - abu^2=...[/tex] : je te laisse factoriser pour faire apparaitre [tex](a+b)U+abV=1[/tex]
Pour les suivantes, tu peux aussi utiliser le fait que si a et b sont premiers entre eux, alors [tex]pgcd(a,bc)=pgcd(a,c)[/tex].
Cela fait peut-être beaucoup de propriétés d'un coup...
Bon courage

Bonjour

Je dois faire un exercice mais je n'y comprends quasiment rien.

Vrai ou Faux justifier vos réponses.
1. a+b et a-b sont premiers entre eux. [u]Faux[/u], contre-exemple: a=5 et b=3 on a PGCD(8,2)=2
2. a+b est premier avec a et b;=. [u]Vrai[/u], PGCD(a;b)=PGCD(a+b,b)=PGCD(a,b+a)=
3. a+b est premier avec ab. [u]Je ne sais pas[/u], a est premier avec a+b et b est premier avec a+b donc ab divise a+b.
4. a est premier avec b². [u]Je ne sais pas[/u]
5. a est premier avec b^n (n entier naturel non nul) [u]Je ne sais pas[/u]
6. a^p est premiers avec b^n (où n et p sont des entiers naturels non nuls) [u]Je ne sais pas[/u]
7. tout diviseur de a est premier avec b. [u]Je ne sais pas[/u]


Merci de m'aider