par Casu » jeu. 9 janv. 2014 17:21
Bonjour,
j'ai répondu à toutes les autres questions. Voici l'énoncé complet :
"A. La fonction g est définie sur l'intervalle [0 ;\(\infty\)[ par :
\(g(x) = e^{x}-x-1\)
1. Étudiez les variations de g.
2. Déterminez le signe g(x) sur \([0; \infty[\).
3. déduisez des questions précédentes que :
a) Pour tout x de \([0 ; \ìnfty[\), \(e^{x}-x>0\);
b) pour tout x de \([\frac{1}{2};1], \frac{1}{2}\leq \frac{1}{e^{x}-x} \leq \frac{9}{10}\)
B. On considère la fonction f définie sur I=[0;1] par \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x}\). On a tracé ci-après sa courbe représantative dans un repère orthonormé.
1.a) Démontrez que pour tout x de I,\(f'(x) = \frac{h(x)}{e^x-x)²}\) où h est une fonction que l'on déterminera.
b) Étudiez les variations de h sur I et déduisez-en celles de f.
c)Démontrez que pour tout x de I \(f(x) \in I\).
2. On note la droite delta d'équation y = x.
a) Démontrez que pour tout x de I \(f(x)-x = \frac{(1-x)g(x)}{e^{x}-x}\)
b) Déduisez-en la position relative de C et delta sur I
C. On considère la suite (un) définie par :
\(u_{o}=\frac{1}{2}\)et pour tout entier naturel n,\(u_{n+1} = f(un)\)
Reproduisez la figure ci-dessus et tracez delta.
Construisez sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite\((u_{n})\). Quelle conjecture faites-vous quant à la convergence de la suite\((u_{n})\) ?
2. Démontrez que pour tout n entier naturel :
a) \(\frac{1}{2}\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1\) ;
b) \(u_{n}-1\leq (\frac{9}{10})^{n}(u_{0}-1)\)
3. La suite\((u_{n})\) est-elle convergente ? Le résultat est-il conforme à votre conjecture ?"
J'ai remarqué que le 9/10 était déja utilisé dans le 3.b) du A. et que la forme \((\frac{9}{10})^{n}(u_{0}-1)\) correspond à une suite géométrique. Aussi, je vois sa représentation graphique mais je ne vois pas comment on pourrait démontrer l'inéquation.
Pour la C.2.a) j'ai répondu que :
Pour tout \(n \in\) aux entiers naturels ;
comme \(u_{n+1}=f(u_{n})\) et que \(f(u_{n})\) est croissante alors \(u_{n}\) est croissante
On peut donc dire que \(u_{n}\leq u_{n+1}\) ;
Comme\(u_{0}`\frac{1}{2}\) et que \(u_{n}\) est croissante \(\frac{1}{2}\leq u_{n}\)
\(\lim_{x \to +\infty} f(u_{n}) = 1\)
donc \(u_{n+1} \leq 1\)
donc \(\frac{1}{2}\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1\)
Mais je ne sais pas si c'est une bonne justification.
Bonjour,
j'ai répondu à toutes les autres questions. Voici l'énoncé complet :
"A. La fonction g est définie sur l'intervalle [0 ;[tex]\infty[/tex][ par :
[tex]g(x) = e^{x}-x-1[/tex]
1. Étudiez les variations de g.
2. Déterminez le signe g(x) sur [tex][0; \infty[[/tex].
3. déduisez des questions précédentes que :
a) Pour tout x de [tex][0 ; \ìnfty[[/tex], [tex]e^{x}-x>0[/tex];
b) pour tout x de [tex][\frac{1}{2};1], \frac{1}{2}\leq \frac{1}{e^{x}-x} \leq \frac{9}{10}[/tex]
B. On considère la fonction f définie sur I=[0;1] par [tex]f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x}[/tex]. On a tracé ci-après sa courbe représantative dans un repère orthonormé.
1.a) Démontrez que pour tout x de I,[tex]f'(x) = \frac{h(x)}{e^x-x)²}[/tex] où h est une fonction que l'on déterminera.
b) Étudiez les variations de h sur I et déduisez-en celles de f.
c)Démontrez que pour tout x de I [tex]f(x) \in I[/tex].
2. On note la droite delta d'équation y = x.
a) Démontrez que pour tout x de I [tex]f(x)-x = \frac{(1-x)g(x)}{e^{x}-x}[/tex]
b) Déduisez-en la position relative de C et delta sur I
C. On considère la suite (un) définie par :
[tex]u_{o}=\frac{1}{2}[/tex]et pour tout entier naturel n,[tex]u_{n+1} = f(un)[/tex]
Reproduisez la figure ci-dessus et tracez delta.
Construisez sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite[tex](u_{n})[/tex]. Quelle conjecture faites-vous quant à la convergence de la suite[tex](u_{n})[/tex] ?
2. Démontrez que pour tout n entier naturel :
a) [tex]\frac{1}{2}\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1[/tex] ;
b) [tex]u_{n}-1\leq (\frac{9}{10})^{n}(u_{0}-1)[/tex]
3. La suite[tex](u_{n})[/tex] est-elle convergente ? Le résultat est-il conforme à votre conjecture ?"
J'ai remarqué que le 9/10 était déja utilisé dans le 3.b) du A. et que la forme [tex](\frac{9}{10})^{n}(u_{0}-1)[/tex] correspond à une suite géométrique. Aussi, je vois sa représentation graphique mais je ne vois pas comment on pourrait démontrer l'inéquation.
Pour la C.2.a) j'ai répondu que :
Pour tout [tex]n \in[/tex] aux entiers naturels ;
comme [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex] et que [tex]f(u_{n})[/tex] est croissante alors [tex]u_{n}[/tex] est croissante
On peut donc dire que [tex]u_{n}\leq u_{n+1}[/tex] ;
Comme[tex]u_{0}`\frac{1}{2}[/tex] et que [tex]u_{n}[/tex] est croissante [tex]\frac{1}{2}\leq u_{n}[/tex]
[tex]\lim_{x \to +\infty} f(u_{n}) = 1[/tex]
donc [tex]u_{n+1} \leq 1[/tex]
donc [tex]\frac{1}{2}\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1[/tex]
Mais je ne sais pas si c'est une bonne justification.
