Bon courage pour les calculs.
A bientôt sur sos-math

merci je vais réessayer

Marine,

tu es vraiment étourdie !
(M-3I)^3 est différent de (M+3I)^3 ....
Tu as trouvé (M+3I)^3 = M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3 = M^3+9M²+27M+27I ... deux erreurs !

Je te donne les résultats suivants : (M-3I)^3 = M^3 - 9M² + 27M - 27I.

\(M^n=\begin{pmatrix} 4^n+2^n-3^n & 3^n-4^n & 3^n-2^n \\ -3^n+2^n & 3^n & 3^n-2^n \\ -3^n+4^n & 3^n-4^n & 3^n \end{pmatrix}\)
Cette formule est compliquée à démontrer ...


SoSMath.

Donc :

M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3 = M^3+9M²+7M+9I

donc M-M^3-9M²-7M-9I= -M^3-9M²-6M-9I=M(-M²-9M-6I)-9I

M(-M²-9M-6I)-9I=-3I
M(-M²-9M-6I)=6I

donc M^-1=1/6(-M²-9M-6I)

Marine,

On a bien 3M²(3I)+3M(3I)² = 9M²+27M
Mais, encore une fois il faut faire attention ...
M-(M-3I)^3 n'est pas égale à M-M(9M+27I) ... reprend ton expression trouvée M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3 (qu'il faut simplifier).

SoSMath.

3M²(3I)+3M(3I)² = ...9M²+27M=M(9M+27I) sauf erreur de ma part

Or M-3I = (M-3I)^3
M-(M-3I)^3 =-3I
-1/3(M-M(9M+27I))=I
-1/3(M(-9M-26I))=I donc M^-1) -1/3(-9M-26I)

Marine,

Il faut faire attention .... (3I)^3 n'est pas égale à 3I mais à 3^3*I soit 27 I !!! (même remarque pour (2I)^2 ...)
De plus il faut réduire tes calculs : 3M²(3I)+3M(3I)² = ...
Ensuite tu as : B = (M-3I)^3 <=> M-3I = (M-3I)^3
Tu peux alors exprimer la matrice I en fonction de la matrice M et donc en déduire M^(-1).

SoSMath.

c) (M-3I)^3=M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3=M^3+3M²(3I)+3M(3I)+(3I)

b) Somme de k=0 à n de C(k,n) de B^n(3I)^(n-k)

Bonjour Marine,

Pour la question c), développe (M-3I)^3 ...

Pour la question b), j'ai trouvé l'expression de M^n et en effet elle utilise des sommes du type de Pascal ... ce n'est pas très facile !
Je te laisse chercher un peu !

SoSMath.

Bonjour et merci :

a) ok pour la démonstration je vois comment faire, en gros il faut que je montre dans l'hérédité que B^(2n+2)=B² et que B^(2n+3)=B

b) notre prof nous a donné des sommes qui ne sont pas au programme mais pour ceux qui voulaient essayer on pouvait c'est à dire des sommes du type triangle de pascal, Newton. Je ne maitrise pas à 100% mais je vaux bien essayer de comprendre au moins !
c)B^3 = B et B = M-3I.
B^3 = (M-3I)^3=B
je vois ce qu'il faut trouver, un résultat du type AA-1=I et donc en déduire A^1 mais ici ça me parait difficile

Bonjour Marine,

Pour la question a), tu as fait une conjecture et c'est très bien. Maintenant il faut la démontrer par récurrence ...
Soit la propriété Pn : pour tout entier n > 0, \(B^{2n}=B^2\) et \(B^{2n+1}=B\) (NB : B^3 = B).
A toi de continuer !

Pour la question b), je ne vois pas comment trouver avec le programme de la TS .... je continue à chercher.

Pour la question c), Il faut que tu trouves (si elle existe) une matrice N tel que MN = NM = I .... Pour cela utilise le fait que B^3 = B et B = M-3I.

SoSMath.

Bonsoir à tous, j'ai un soucis avec cet exercice de Dm en spé :

Voici l'énoncé : On considère la matrice 3*3 :
M= (3 -1 1
-1 3 1
1 -1 3)
a) On pose B=M-3I Calculer B^3 et en déduire B^k pour tout k de N.
b) Déterminer alors l'expression de M^n en fonction de n
c) M est elle inversible ? si oui, déterminer son inverse.

ce que j'ai fait :

a) j'ai calculé les premières valeurs de B et je remarque que pour des n pairs, B^n=B² et que pour des n impairs, B^n=B^3. Comment en déduire une forme générale?
b) M=B+3I
M^n=(B+3I)^n mais il me manque B opur continuer

c) faut il prendre une valeur particulière de n ou M^n ?

Merci !