par Patrick » mer. 16 oct. 2013 20:16
Bonjour,
C'est un exercice assez difficile (for me), Merci pour la correction.
Soit \(n\) et \(m\) deux entiers naturels non nuls.
1. On suppose que \(m|(5n+31)\) et \(m|(3n+12)\); démontrer que \(m|33\).
2. En déduire les valeurs possibles de \(m\). Donner un exemple d'entiers \(n\) dans chaque cas.
_________________________________________________________
1. Je remarque que \(3\times 31-5\times 12=33,\) ce qui m'incite à poser :
\(A=5n+31\) et \(B=3n+12,\)
de façon à éliminer \(n\) par une combinaison linéaire :
\(3A=15n+93\) et \(5B=15n+60,\) donc \(3A-5B=33\);
C'était la 1ère étape pour répondre à la question :
\((m|A\text{ et }m|B)\Rightarrow (m|3A\text{ et }m|5B)\Rightarrow m|(3A-5B)\Rightarrow m|33.\)
Ok CQFD, mais comment fait-on si l'on ne remarque pas la combinaison linéaire ?
2. Les valeurs possibles pour \(m\) :
\(m|33\quad\Leftrightarrow\quad m|1\times 3\times 11\) de sorte que : \(m=1,\ m=3,\ m=11\) ou \(m=33.\)
- Je ne suis pas sûr d'avoir compris correctement la dernière question, déterminer \(n\) dans chaque cas suivants :
\(3|(5n+31),\ 11|(5n+31),\ 3|(3n+12)\) et \(11|(3n+12)\ ?\)
Ce qui revient à chercher des entiers, multiples de \(3\) et de \(11\), pour lesquels il existe, dans chaque cas, un entier \(m\) qui vérifie :
1er cas : \(3|(5n+31)\) condition vérifiée pour \(n=1,\) puisque \(3|36\)
2ème cas : \(11|(5n+31)\) condition vérifiée pour \(n=7,\) puisque \(11|66\)
3ème cas : \(3|(3n+12)\) condition vérifiée pour \(n=1,\) puisque \(3|15\)
4ème cas : \(11|(3n+12)\) condition vérifiée pour \(n=7,\) puisque \(11|33\)
- Pour les cas : \(1|(5n+31)\) et \(1|(3n+12)\), trivial car c’est valable quel que soit \(n\), puisque 1 divise tous les nombres.
- De même pour : \(33|(5n+31)\) et \(33|(3n+12)\) même résultat qu'au 2ème cas ?
@+
Bonjour,
C'est un exercice assez difficile (for me), Merci pour la correction.
Soit [tex]n[/tex] et [tex]m[/tex] deux entiers naturels non nuls.
1. On suppose que [tex]m|(5n+31)[/tex] et [tex]m|(3n+12)[/tex]; démontrer que [tex]m|33[/tex].
2. En déduire les valeurs possibles de [tex]m[/tex]. Donner un exemple d'entiers [tex]n[/tex] dans chaque cas.
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1. Je remarque que [tex]3\times 31-5\times 12=33,[/tex] ce qui m'incite à poser :
[tex]A=5n+31[/tex] et [tex]B=3n+12,[/tex]
de façon à éliminer [tex]n[/tex] par une combinaison linéaire :
[tex]3A=15n+93[/tex] et [tex]5B=15n+60,[/tex] donc [tex]3A-5B=33[/tex];
C'était la 1ère étape pour répondre à la question :
[tex](m|A\text{ et }m|B)\Rightarrow (m|3A\text{ et }m|5B)\Rightarrow m|(3A-5B)\Rightarrow m|33.[/tex]
Ok CQFD, mais comment fait-on si l'on ne remarque pas la combinaison linéaire ?
2. Les valeurs possibles pour [tex]m[/tex] :
[tex]m|33\quad\Leftrightarrow\quad m|1\times 3\times 11[/tex] de sorte que : [tex]m=1,\ m=3,\ m=11[/tex] ou [tex]m=33.[/tex]
- Je ne suis pas sûr d'avoir compris correctement la dernière question, déterminer [tex]n[/tex] dans chaque cas suivants :
[tex]3|(5n+31),\ 11|(5n+31),\ 3|(3n+12)[/tex] et [tex]11|(3n+12)\ ?[/tex]
Ce qui revient à chercher des entiers, multiples de [tex]3[/tex] et de [tex]11[/tex], pour lesquels il existe, dans chaque cas, un entier [tex]m[/tex] qui vérifie :
1er cas : [tex]3|(5n+31)[/tex] condition vérifiée pour [tex]n=1,[/tex] puisque [tex]3|36[/tex]
2ème cas : [tex]11|(5n+31)[/tex] condition vérifiée pour [tex]n=7,[/tex] puisque [tex]11|66[/tex]
3ème cas : [tex]3|(3n+12)[/tex] condition vérifiée pour [tex]n=1,[/tex] puisque [tex]3|15[/tex]
4ème cas : [tex]11|(3n+12)[/tex] condition vérifiée pour [tex]n=7,[/tex] puisque [tex]11|33[/tex]
- Pour les cas : [tex]1|(5n+31)[/tex] et [tex]1|(3n+12)[/tex], trivial car c’est valable quel que soit [tex]n[/tex], puisque 1 divise tous les nombres.
- De même pour : [tex]33|(5n+31)[/tex] et [tex]33|(3n+12)[/tex] même résultat qu'au 2ème cas ?
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